(1)
k,lが整数のときk^2+kl+l^2+1は3の倍数でないことを示せ。
[解答]
k,lのどちらかが3の倍数であるとする。
kが3の倍数として一般性を失わない。
すると与えられた数は3を法としてl^2+1と合同。これは3の倍数になりえない。
k,lのどちらも3の倍数でないとする。
k^2+l^2+1は3の倍数だがklはそうでない。
よって示された。
(2)
f(x)=x^3+x+1とする。
自然数nについて3^n個の数
f(1),f(2),...,f(3^n)
のうち、3^nで割りきれるものは1つだけ存在することを示せ。
自然数mを用いて、2^m+1 と表される素数のうち、
10^5より小さいものを全て求めよ。
a+b+c=n (0≦a≦b≦c≦n) を満たす組み合わせは何通りか
f(x)＝log (log2a+3b+5c)が45m+73nの因数である時、(a+b+c)^3を201で割った数の整数部分を求めよ
玉がｎ（ｎは自然数で６の倍数）個、箱が３つあり、玉を箱に入れる（空の箱があってもいい）
箱は区別しないとする
さて玉を区別する時としない時とで
それぞれ入れ方は何通りあるか？
33m+4t=2005をみたす自然数(m,t)の組をすべて求めよ
(1)1+2^m=3^nを満たす自然数組(m,n)を全て求めよ。
(2)1+2^m+2^n=3^lを満たす自然数組(m,n,l)をすべて求めよ。
整数の組(a,b,c)であって次の条件を満たすものをすべて求めよ.
[条件] 任意の整数kに対して,ある整数の組(m,n)が存在してam^2+bmn+cn^2=kが成り立つ.
素数を小さい順に p1,p2,⋯とおく。
n≥4のとき，
p1p2p3⋯pn>p2n+1
を証明せよ
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