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癖のある教科書に引っかからないようにしましょう

僕が、柴垣がお薦めです！というとすごく非難されます。
でも、詳しければいいとか、易しければいいとか、
そういうことではないと思うんです。

関連スレ

関数解析（Functional Analysis）
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関連過去ログ

関数解析＆ルベーグ積分
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Lebesgue積分ｾﾞﾐ
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R^1上のルベーグ可測な集合Aで
どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもA=(O∪S1)-S2とならないような
Aは存在しますか

>>5
存在する。


集合A⊂Rに対して、Aの閉包をA^aと書き、Aの開核をA^iと書くことにする。
ルベーグ可測集合Aに対して、Aのルベーグ測度をm(A)と書くことにする。

補題1：Oは開集合でNはゼロ集合とする。このときO⊂(O∩N^c)^aが成り立つ。
補題2：閉集合 K⊂R であって、K^i＝φかつm(K)＞0を満たすものが存在する。

>5への回答：
補題2を満たすKを取る。このKが求めるAである。実際、ある開集合Oと零集合S1,S2が存在して

K＝(O∪S1)∩S2^c

と表せたとする。K ⊃ O∩S2^c であるから、

K ＝ K^a ⊃ (O∩S2^c)^a ⊃ O

が成り立つ(最後の包含は補題1を使った)。よって K ⊃ O となるので、

φ ＝ K ^i ⊃ O^i ＝ O

となる。すなわちO＝φとなる。このとき K＝S1∩S2^c ⊂ S1 だから
m(K)≦m(S1)＝0すなわちm(K)＝0となるが、これはm(K)＞0に矛盾する。
よって、どんな開集合Oと零集合S1,S2をとってもK＝(O∪S1)∩S2^cとならない。(終)

補足：K＝(O−S1)∪S2 も出来ない。この場合 K ⊃ O∩S1^c だから、あとは同じ議論で矛盾する。

x∈Rを中心とする半径rの開球をB_r(x)と書くことにする。
開球と言っても、今の場合は1次元だからB_r(x)＝(x−r, x＋r)である。

補題1の証明：
O＝φのときは明らかに成立する。以下、O≠φとしてよい。
題意を示すには「x∈Oならばx∈(O∩N^c)^a」を示せばよい。すなわち、

「x∈Oならば『任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φ』」

を示せばよい。
x∈Oとする。あるr＞0が存在してB_r(x)∩(O∩N^c)＝φ が成り立つとする。このとき

B_r(x)∩O ⊂ N　… (1)

が成り立つことが分かる。また、Oは開集合でx∈Oだから、B_{r_1}(x)⊂Oなるr_1＞0が取れる。
よって、r_2＝min { r, r_1 } と置けば B_{r_2}(x) ⊂ B_r(x)∩O となる。これと(1)から

B_{r_2}(x) ⊂ N

となる。よって 0 ＜ m(B_{r_2}(x)) ≦ m(N) ＝ 0 となって矛盾する。
よって、任意のr＞0に対してB_r(x)∩(O∩N^c)≠φが成り立つ。以上より、成立。

補題2の証明：
I＝[0,1]と置く。有理数全体の集合をQと置く。Qは可算集合だから、
Q＝{p_k｜k＝1,2,3,…} と番号づけて表示できる。

O ＝ ∪[k＝1〜∞] B_{ 0.01^k }(p_k)

と置くと、明らかに

Q ⊂ O　…　(1)

である。また、Oは開集合であり、

m(O) ≦ Σ[k＝1〜∞] 2*0.01^k ＝ 2/99

が成り立つ。次に、K＝I∩O^c と置く。このKが求めるKである。以下でこれを示す。
まず、Kは明らかに閉集合である。次に、

I＝(I∩O^c)∪(I∩O)＝K∪(I∩O)⊂K∪O

が成り立つ。よって

1＝m(I)≦m(K)＋m(O)≦m(K)＋2/99

すなわち m(K)≧1−2/99＞0 となる。さらに、K^i＝φである。実際、K^i≠φだとすると、
x∈K^i なるxが存在する。このとき、あるr＞0が存在してB_r(x)⊂K^i が成り立つ。これと

K^i ⊂ K ＝ I∩O^c ⊂ O^c ⊂ Q^c

より、B_r(x) ⊂ Q^c が成り立つことになる。しかし、B_r(x)＝(x−r, x＋r) には
必ず有理数が含まれるから、矛盾する。以上よりK^i＝φである。(終)

>>6-8
証明理解しました
測度が0じゃないカントール集合のようなモノを作ればいい訳ですか
ありがとうございました！

sage

>>11
E=(0,1)だとして
どんなに小さいε>0に対しても{x∈E | 1-ε≦f(x)≦1}の測度が0より大きくて
{x∈|E | |f(x)|>1}の測度が0だから ||f||_L∞(E)=1
またどんなに大きいC>0に対しても{x∈E | g(x)>C}の測度が0より大きいから
||g||_L∞(E)=∞

１２番さん

ありがとうございます。

また質問するかもしれないです。

本当にありがとうございます。

pink

R上のルベーグ測度に関する絶対連続測度μを考える
μ-測度収束位相において、C_0^∞(R)がR上μ-可測関数全体のなす線形空間の閉部分空間となる例は有るか？

f_nが測度収束 ∀ε,δ>0∃N∀n,m>N ( m(|f_m-f_n|<ε)<δ)

わからない問題があります。

E∈ｍ　ｍ（Ｅ）＜∞
1≦p＜q≦∞のとき
Lq(E)⊂Lp(E)を示せ。

またｆ∈Lp(E)→||f||Lp(E)≦Ｃｏ||f||Lq(E)
となる　Ｃo(fによらない）があることを示せ。

お願いします。

q_n(n=1,2,…)を有理数の列ですべての有理数が一度ずつ入る列としよう.
∪(q_n-2^(-n)..q_n+2^(-n)) はBorel可測となりその測度は1以下になるはずだが,　本当にこれでいいのか.

n番目の区間のBorel測度は2^(-n+1)になるから,和集合のBorel測度は2以下になるはずだが,本当にこれでいいのか.

僭越ながら高校生の者です。ルベーグ積分を勉強したいのですがどの教科書がいいですか？

>>19
う〜ん。
とりあえずは志賀浩二の「ルベーグ積分３０講」だな。
自分も高校の時に読んで良かった。
ソレ以外だと、適当なのがないな。

中野剛志先生がＴＰＰ賛成論者の詭弁を全滅させたようです






中野先生が敗北宣言、暗殺される？
日本が米国の植民地に。すでに９９％手遅れか？