面白い数学の問題おしえて～な 43問目 YouTube動画>1本 ->画像>11枚

面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨

前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 42問目
http://2chb.net/r/math/1672331826/

まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/

有限個の自然数からなる集合{a_1,a_2,…,a_N}があり、この集合の空でない部分集合の和は全て異なる.

(例: {1,2,4}
空でない部分集合は{1},{2},{4},{1,2},{1,4},{2,4},{1,2,4}で、それぞれ和が1,2,4,3,5,6,7で全て異なる.)

このとき、逆数和Σ_{k=1}^N (1/a_k)は2未満となることを示せ.

すっかり過疎だ

次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一]　2∈{1,2,3}
[二]　{2}∈{1,2,3}
[三]　2⊂{1,2,3}
[四]　{2}⊂{1,2,3}

簡単だけど勘違いしやすい問題

>>4の解答です
[一]　◯
[二]　×
[三]　×
[四]　◯
理由も添える問題にした方が面白かったかも

次の表現は正しいか、○か×で答えよ
[一]　2∈{1,2,3}
[二]　{2}∈{1,2,3}U｛｛１，２，３｝、｛２｝｝
[三]　2⊂{1,2,3}U３
[四]　{2}⊂{1,2,3}

連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

3式足すと
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0
よってa=b=c=0のみが実解

・解説その1
加減法を使う
3式足すと
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作るために
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[1]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[1]の等式も0以上となる
つまり、[1]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0

・解説その2
a=b=c≠0と仮定する
a=b=c=x　(x≠0)とおく
連立方程式のa^2-ab+c^2=0を用いる
a^2+c^2=ab
a,b,cをxに置き換えると
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x≠0のとき、この等式は成り立たない
よって、a=b=c≠0は成り立たない

上記より、
実数解(a,b,c)を1組求めよ
(a,b,c)=(0,0,0)
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか
実数解(0,0,0)以外の実数解(a,b,c)は存在しない

勝手に変な解説するなよw

勝手に解説して申し訳ないです

自分で証明していたものと比べ物にならないほど洗練されていたので使わせてもらいました。質問板で解説するつもりだったので、そのまま解説その1,2となってます

ちなみに自分の証明では、
2乗の形を作るため、平方完成を用いる(半分の2乗)
(a-b)^2が((1/2)a-(1/2)b)^2
↑こんな感じでした

解説その2は出題に合わせて、無理矢理証明の形にしています

解説その1は>>8と同じもの。これだけで十分。
解説その2は意味不明で、(a,b,c)が

(a,b,c)＝(x,x,x) (3つとも同一の値) …(★)

という形のときに x＝0 のみが解になっていることを示しているだけ。
それ以外の形の (a,b,c) が解になっているかどうかは何も言ってないので、
解説として全く足りてない。
最初の連立方程式から(★)の形に絞られることが言えるのであれば、
解説2でも構わんが、そんなこと解説2には書いてない。

>>9の訂正版
連立方程式
a^2-ab+c^2=0…[1]
b^2-bc+a^2=0…[2]
c^2-ca+b^2=0…[3]

加減法を使い連立方程式の解a,b,cを求める
[1],[2],[3]を足す
a^2-ab+c^2+b^2-bc+a^2+c^2-ca+b^2=0
2乗の形を作る
a^2+b^2+c^2+(2*(a^2)-2ab+2*(b^2)-2bc+2*(c^2)-2ca)/2=0
a^2+b^2+c^2+(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2)/2=0
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
2乗した実数は0以上となり、また2乗した実数同士を足した[4]の等式も0以上となる
つまり、[4]を満たすa,b,cは0となる
よって、a=b=c=0

実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組である
この1組以外に実数解(a,b,c)が存在する場合について、
a=b=cかつa≠0,b≠0,c≠0と仮定
[1]より、a^2+c^2=ab
a,b,cをxとおく
x^2+x^2=x*x
2*(x^2)=x^2
x=0のとき以外、この等式は成り立たない
つまり、a=b=cのときa=0,b=0,c=0のみ成り立つ
また上記より、連立方程式の実数解a≠b,b≠c,c≠aは成り立たない
したがって、実数解(a,b,c)は(0,0,0)の1組以外に実数解(a,b,c)は存在しない

>>13
後半が蛇足。前半だけで終わっている。等式 [4] が示せた時点で、

・ (a,b,c)＝(0,0,0) 以外の (a,b,c) は解にならない

ことが既に判明している。それなのに、後半では

・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0

というケースを改めて考え直して、そのケースでは解にならないことを
証明し直している。だが、そのような蛇足は全く要らない。
[4] が導出できた時点で、既にそこまで示せているから。

一般に、非負の実数 x_1,…,x_n の和がゼロならば、
x_1,…,x_n は自動的に全てゼロになる。つまり、

・ x_1≧0, x_2≧0, … , x_n≧0 かつ x_1＋x_2＋…＋x_n＝0 ならば、x_1＝x_2＝…＝x_n＝0

が成り立つ。[4]はまさにこれ。

>>8だけで2つの出題の解答になっているのは分かってますが、出題者が2つに分けているので無理やり2つの解答を用意
手直ししても結果は芳しくないようですね
やっぱり蛇足と割り切るのが良さそう

以上のことから、>>7の出題
「実数解(a,b,c)を1組求めよ。またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。」は、
「実数解(a,b,c)を求めよ。」だけでもいいかもしれません

他にも質問スレへ色々と追加している出題もこちらへ投稿して欲しいですね

a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 … [4]

この等式の左辺には

・ a^2, b^2, c^2, (1/2)(a-b)^2, (1/2)(b-c)^2, (1/2)(c-a)^2

という6個の非負の実数が出現していて、その6個の和を取っており、
しかも和の結果がゼロになっている・・・と言っているのが[4]である。
よって、上記の6個は自動的に全てゼロになる。つまり

a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0

ということになる。特に (a,b,c)＝(0,0,0) である。

つまり、[4] が導出できた時点で、強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると
確定してしまうので、それ以外の (a,b,c) は解の候補から自動的に除外される。
君が大好きな

・ (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0

というケースも、[4]が導出できた時点で、既に解の候補から除外されているのである。
それなのに、君は後半で改めて (a,b,c)＝(x,x,x), x≠0 というケースを解の候補として考え直しており、
そのケースでは解にならないことを証明し直している。何度も言うように、それは蛇足である。

（1）
「f(x,y)=0かつg(x,y)=0」
⇔
「f(x,y)=0かつf(x,y)+g(x,y)=0」
を示せ。

（2）
連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

実数a,b,cが、
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
…（ア）
を満たしている。

（1）aをbとcで表せ。

（2）恒等的に定数でない整数係数の1変数多項式f(x)で、f(c)=0を満たすものを1つ求めよ。

（3）（2）のf(x)に対し、関数y=f(x)を考える。xがすべての実数値をとりながら変化するとき、yの増減を調べよ。

（4）連立方程式（ア）を満たす実数の組(a,b,c)をすべて求めよ。

>>19-20
無意味な誘導。[4]が導出できた時点で全て終わり。

たとえば>>20は、次のようにすればよい。

解答
(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、(ア)が実際に成り立つことが分かる。
よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。
次に、(ア)の解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0…[4]
となるので、
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、(ア)の解(a,b,c)が存在するなら、
それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。
以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。

(1)：2変数多項式 F(x,y) であって、a＝F(b,c) を満たすものを
1つ作れば十分である。ところで、(ア)を満たすa,b,cは
(a,b,c)＝(0,0,0) に確定しているので、
等式 a＝F(b,c) は 0＝F(0,0) を意味する。
よって、F(0,0)＝0 を満たす F(x,y) を作れば十分である。
そのような F は無数に存在する。F(x,y)＝0 (恒等的に0) でもいいし、
F(x,y)＝x−y でもいいし、F(x,y)＝xy でもいい。
どの F(x,y) であっても、a＝F(b,c) が成り立つ。

(2)：f(x)＝x と置けばよい。(a,b,c)＝(0,0,0) なのだから、
c＝0 であり、よって f(c)＝f(0)＝0 すなわち f(c)＝0 である。

(3)：ここでは f(x)＝x なのだから、y＝f(x) は傾き1の直線である。

(4)：(a,b,c)＝(0,0,0) のみである。

このように、(a,b,c)＝(0,0,0)のみが解であることを先に証明してしまうと、
(1)〜(4)の誘導の仕方は企画倒れになってしまう。

ちなみに、

連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

という問題形式にやたらと拘っているようだが、
それもまた、解答のつけ方は>>22で終わっている。

この問題形式では、

(i) 実数解(a,b,c)を1組求めよ。
(ii) その1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

という2つの問題が挙げられているので、(i),(ii)それぞれに
解答をつければよい。そして、その書き方は>>22に書いたとおりである。
改めて解答をつけると、次のようになる。

解答
(i)：(a,b,c)＝(0,0,0)としてみると、問題文の連立方程式が
実際に成り立つことが分かる。よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。

(ii)：解(a,b,c)を任意に取る。3つとも足し算すると
a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0 となるので、
a^2＝0, b^2＝0, c^2＝0, (1/2)(a-b)^2＝0, (1/2)(b-c)^2＝0, (1/2)(c-a)^2＝0
となる。特に(a,b,c)＝(0,0,0)である。つまり、解(a,b,c)が存在するなら、
それは強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) であると確定する。
以上により、(a,b,c)＝(0,0,0) のみが解である。

このように、(i)に解答するには、
決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい。
「どうやって (a,b,c)＝(0,0,0) に至ったのか？」
という計算過程を記述する必要はどこにもない。
ただ単に、いきなり

「(a,b,c)＝(0,0,0)としてみる」

と宣言してしまえばよい。これが実際に解になっているかどうかは、
問題文の連立方程式に代入して確かめてみればよいだけである。
(a,b,c)＝(0,0,0)のとき、

a^2-ab+c^2 ＝ 0^2−0*0＋0^2 ＝ 0

であり、同じく b^2-bc+a^2＝0, c^2-ca+b^2＝0 なのだから、
(a,b,c)＝(0,0,0)は実際に連立方程式を満たすことが分かる。
よって、(a,b,c)＝(0,0,0)は解の1つである。

(ii)に解答するには、(0,0,0)以外の(a,b,c)が
解の候補から外れることを厳密に示さなければならないので、
ここで初めて、連立方程式の中身を駆使した
具体的な計算過程を記述することになる。
何をするかと言えば、3つとも足し算して

a^2+b^2+c^2+((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/2=0

を導出するだけである。これが導出できた時点で、
強制的に (a,b,c)＝(0,0,0) に確定してしまう。
つまり、(0,0,0) 以外の(a,b,c)は解の候補から外れる。
これで(ii)に解答できたことになる。

結局、

連立方程式
a^2-ab+c^2=0
b^2-bc+a^2=0
c^2-ca+b^2=0
の実数解(a,b,c)を1組求めよ。
またその1組以外に実数解(a,b,c)は存在するか。

という問題形式に拘ったところで、
解答の仕方は本質的に>>8で終わっているのであり、
丁寧に書き下しても>>25の書き方になるだけである。

一方で、君の解答のつけ方には、

・ 決め打ちで(a,b,c)＝(0,0,0)をいきなり宣言してしまえばよい

という視点が欠落している。君は、(i)に解答するときにも

「どうやって(a,b,c)＝(0,0,0)に到達したのか、
　その計算過程を記述しなければならない」

と勘違いしているのである。
本来なら(ii)で書くべき計算内容を、
君は(i)の時点で書き下してしまうのである。
その後で改めて(ii)に解答しようとするから、
どうしても計算内容の重複(つまり蛇足)が発生するのである。

>>29「計算過程を記述しなければならない」

受験やテスト対策として、塾の講師に「途中計算も必ず書くこと」、「証明は必ず書くこと」、「証明は答えの前に必ず書くこと(先に書く)」、「計算や証明は重複しても構わない」的なことを教わったのを思い出しました

ありがとうございます。違和感の正体と理由がわかりました
受験数学で身に付けた考え方、癖、固定観念的なものが未だに残っているようです

問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。

ふーん

>>31問題:
半径1の球に内接する円錐の体積(V)と表面積(S)の比率(V/S)の最大値を求めよ。
※内接…球に円錐の頂点と底面の円周が接している

比率を最大にするためには、表面積の分母を最小化する必要がある
表面積(分母)の (√((r^2) + (h^2))*r*π) を最小にする条件は、正円錐であることなので (h = r)
半径1の球に内接している正円錐の高さ(h)と底面積の半径(r)は(h = r = 1)

円錐の体積(V)=(1/3)*底面積*高さ(h)
=(1/3)*(1^2)*π*1
=(1/3)π
円錐の表面積(S)=底面積+側面積
=母線の長さ*底面の半径*π
=√((1^2)+(1^2))*1*π
=√(2)π

上記より、
比率(V/S)=((1/3)π)/(√(2)π)=1/(3√(2))
よって、比率(V/S)の最大値は1/(3√(2))

>>33
底面積が計算に入ってなくない？

>>33円錐の表面積以降を訂正

円錐の表面積(S)=底面積+側面積
=(半径*半径*π)+(母線*半径*π)
=(1*1*π)+(√(2)*1*π)
=(1+√(2))π

上記より、
比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π)
=1/(3*(1+√(2)))=1/(3+3√(2))
よって、比率(V/S)の最大値は1/(3+3√(2))

>>34確認したら底面積が抜けてました
・確認用
円錐の表面積(S)
=(半径+母線)*半径*π
=(1+√((1^2)+(1^2)))*1*π
=(1+√(2))π

追記:小数点第4位までの表記なら0.1380
比率(V/S)=((1/3)π)/(1+√(2)π)
=1/(3*(1+√(2)))=1/7.24264…
=0.1380…

問題:
文字列abcdefの6文字を横1列に並べて順列を作るとき、
[1]. (aとb)または(cとd)の少なくとも1組は隣接する
[2]. aは(cとe)とは隣接しない
[1]と[2]の両方を満たす順列は何通りか？

パズルを1題

1〜nまでの数字を1回ずつ使って?×?=?という形の式を作る
1〜4の場合は3×4=12,1〜5の場合は13×4=52が当てはまる

それでは1〜6の場合を答えよ(想定解2つ)

問題自体はちっとも面白くないけど、しらみつぶし以外の面白い解き方があるのかな？

解説
?×?=?の形の式で数字を6つ使うのは1桁×2桁=3桁のパターンしかない
それをA×BC=DEFとおく
1の位(A,C,F)に1や5が入ることはあり得ないので2,3,4,6のいずれか3つが入ることになり、2×3=6と3×4=2の2通り
Dは4以上になり得ず、1の位で両者とも2と3を使うためD=1が確定
2×3=6を使う場合は繰り上がりが起こらないため5をBやEに入れられない(1の位に入れられないのと同様の理由)ので不成立
3×4=2を使う場合は3×B4=1E2,4×B3=1E2の2通り
5と6を入れてみると成り立つのは3×54=162のみ
よって3×54=162が唯一解

想定解が2つと言うのは
小数点を使えば24×1.5=36(または2.4×15=36)って解も出せるという結構ずるい話

1〜4,1〜5,1〜6共に解が1つに定まるのが綺麗なので出題してみた次第
ちなみに1〜7は解なしで1〜8と1〜9は何通りかある

なるほど、いわゆる完全虫食い算になってたわけね

漫画「数学ゴールデン」の3巻から

a1〜a6,b1〜b6,c1〜c6がそれぞれ1〜6の並べ替えであるとき
Σ[i=1〜6](aibi+bici+ciai)の最小値を求めよ

答えは
1*4*6 + 2*3*4 + 3*5*2 + 4*2*3 + 5*6*1 + 6*1*5 = 162
みたいだけどなんか鮮やかな示し方あんの？

たぶん組み分け的には

164 641 416
235 352 523

で、4と5は入れ替え可能ってことなんだろうけど
証明はわからん

あれ、これΣaibiciじゃん・・・

Xi=ai+bi+ciと置けば
問題の式を最小にするにはΣ(Xi)^2を最小にすれば良くて
ΣXi=63(一定)だから、これは幾何学的にはベクトルXiをなるべく対角方向にすればノルムが小さく出来て
Xi=10.5(i=1〜6)が最小だけども、Xiは整数値だから
(10,10,10,11,11,11)でノルム最小かな

だから結局>>44で合ってそう(ただし4と5入替不可)

(i)25の倍数が含まれるとき
25x ( x∈(1,2,..,6})が含まれるとして残り５数の和の最小値は
5*(144^3*5/x)^(1/5)だから６数全体の和は
⌈25 + 5*(144^3*5/x)^(1/5)⌉
以上であり、これはx=1のとき最小値162をとる
(ii)25の倍数が含まれないとき
６数を5a,5b,5c,d,e,fとしabc=x^3とおけば
5a+5b+5c+d+e+f≧⌈15x+3*144/x⌉
である
左辺が161以下になるには15x+3*144/x≦161が必要で16/3≦x≦27/5が必要である。
よって
(16/3)^3≦abc≦(27/5)^3
が必要であり
152≦abc≦157
が必要であるが、[152,157]に属する整数はすべて7以上の素因子を含む

712!+1は素数か？

https://ja.wolframalpha.com/input?i=712%21%2B1%E3%81%AF%E7%B4%A0%E6%95%B0

https://ja.wolframalpha.com/input?i=713

>>49
wolfram計算できてなくないか？
素数でないなら合成数であることを示してください
計算機使わず示せます

(a^2-ab+c^2)(2a+b-c)+(b^2-bc+a^2)(2a+b)+(c^2-ac+b^2)(-a-b+c)=4a^3.

>>53
おお、>>28の一発解法だね

>>48
719で割れる。
F_719 で 712! = 718!/720 = -1

>>55
正解！
719が素数なのと720=6!が上手くいきすぎてて面白い問題だと思った(昨夜某アドベンダーで知った)

>>52
素数ではないと判定されてる
素因数分解は大量の計算量が必要だけど素数であるかどうかの判定は桁数nに対してnlog(n)程度のオーダーで計算できるからwolframなら一発答えがでる

あと、713が絶妙に合成数なのも良ポイント

>>57
どうやるの？

例えば
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/56/1/56_1_73/_article/-char/ja/

誰か実用的な数学の計算式考えてくれない？
検索しても見つからないしAIに聞いても答えが出せない。
珊瑚とK18金素材のジュエリーがあるとしてそれらは取り外すと破損するから外せないが、
総重量と体積、二つの素材の正確な比重値がわかっているとする。
総重量が100gで、体積が30立方センチである
つまり全体の比重値は3.33である
珊瑚の比重は2.65とし、K18金の比重は15.50とする
なお、実際には体積測定時に気泡が入ったり、
天然の珊瑚や金の合金種類の配合などの個体差による誤差が出るがここでは考えないものとする。

中学の連立方程式の問題

重量を x, y とおいて
x+y=100, (x/2.65)+(y/15.50)=30
これを解いて
x=(2.65(15.50*30-100))/(15.50-2.65)
≒75.3
y=(15.50(100-2.65*30))/(15.50-2.65)
≒24.7

thx
計算で出せることはわかってたけど式がわからなかったんだよね
買い取り屋はどこも壊して査定とかもったいなくて荒々しいのばかりだし
数学を使って非破壊で求めたらいいのに

保守のついで

Cを

x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = sin(t) + sin(-2t)

で表される曲線とする。

(1)3t≡π (mod 2π)である点を除いて t = α においてCは接線 l(α) を持つことを示せ
(2)l(α)とCは接点以外の共有点をちょうど二つもち、その二点間の距離は一定であることを示せ

>>64
訂正

x(t) = 2cos(t) + cos(-2t)、y(t) = 2sin(t) + sin(-2t)

でつ

保守上げついでにつべネタ

cbrt(x)で立方根を返す関数とする
f(x) = cbrt(x) + cbrt(37-x)
とするときf(x)が整数値をとる整数xはx=-27, 64に限ることを示せ

>>31
単位球に内接しかつV/Sが最大値をとる円錐の底面の半径をRとすると、
V=(1/3)πR^2｛1+√(1-R^2)｝
S=πR^2+πR√｛2+2√(1-R^2)｝
=πR^2+πR｛√(1+R)-√(1-R)｝
V/S=｛1+√(1-R^2)｝/[｛√(1+R)+√(1-R)｝/R]
=｛R+R√(1+R)√(1-R)｝/｛R+√(1+R)+√(1-R)｝
(V/S)'=0
微分して=0とし適宜移行し辺々二乗すると、
4+4√(1-R^2)=R^2｛5-2R^2-2R√(1+R)+(2R-4)√(1-R)+√(1-R^2)｝
作図した感じ、
R=0.8……〜0.9.……
Rが定まればV/Sも決まる。

>>66
n=cbrt(x),m=cbrt(37-x) とおくと問題は、n^3+m^3=37 という条件下で、n+mが整数になる時の考察になる。

n^3+m^3=37 の時、n+m は負にはならないし、6以上にもならない(※)

従って、n+m　が整数になる時、その値として可能性があるのは　1,2,3,4,5　だけ。
実際これを解き、整数解が得られるのは、k=1の時の、x=-27, 64　だけ。
これで、題意が示される。

(※)
負にならないのは、0 < 37 = n^3+m^3 = (n+m)(n^2-nm+n^2) = (1/4)(n+m){(2n-m)^2+3m^2} から明らか。
6以上にならないのは、(n+m)^3=37+3mn(n+m)≦37+(3/4)(n+m)^3=37+(3/4){37+3mn(n+m)}　；　∵　4xy≦(x+y)^2　
≦37{1+3/4+(3/4)^2+...}=37*4=148＜216=6^3　から示される。

>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、嶺線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

前>>69訂正(6行目)。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-1/｛2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=1
2-h=1/4
h=2-1/4
=7/4
2h=7/2
2h-h^2=7/2-49/16
=(56-49)/16
=7/16
V=(π/3)(7/16)(7/4)
=49π/192
S=π(7/16)+π√｛(7/16)(7/2)｝
=(7/16)π+(7/4)π(√2/2)
=7π(1+2√2)/16
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(49×16)/｛192×7(1+2√2)｝
=7(2√2-1)/(12・7)
=(2√2-1)/12
=0.15236892706……

前>>70最大値を更新した。
>>31
単位球に内接する円錐の高さをhとすると、
底面積はピタゴラスの定理より、
π｛1-(h-1)^2｝=π(2h-h^2)
円錐の体積Vは、
V=(1/3)π(2h-h^2)h
円錐の表面積Sは、母線の長さをRとして、
(底面積)+(側面を含む円の面積)×(扇形の弧の長さ/円の外周の長さ)だから、
S=π(2h-h^2)+πR^2｛2π√(2h-h^2)/2πR｝
直角三角形の相似比から、
h：R=(R/2)：1
h=R^2/2
R=√(2h)
S=π(2h-h^2)+π√｛(2h-h^2)2h｝
V/S=π(2h-h^2)h/3π√(2h-h^2)｛√(2h-h^2)+√(2h)｝
=h√(2h-h^2) ｛√(2h)-√(2h-h^2)｝/3h^2
=√(2-h)｛√2-√(2-h)｝/3
=｛(√2)√(2-h)-2+h｝/3
(V/S)'=0とすると、
｛h-2+(√2)(2-h)^(1/2)｝'=0
1-√2/｛(2√(2-h)｝=0
2√(2-h)=√2
2-h=1/2
h=2-1/2
=3/2
2h=3
2h-h^2=3-9/4
=3/4
V=(π/3)(3/4)(3/2)
=3π/8
S=π(3/4)+π√｛(3/4)・3｝
=(3/4)π+(3/2)π
=9π/4
比率(V/S)の最大値は、
∴V/S=(3×4)/(8×9)
=1/6
=0.1666……

前>>71
母線が円錐の中心線に対して30°
円錐を真横から見て正三角形に見えるときが最大ってことだよね？
つまり微分しなくても勘で答えは出せるってこと。

前>>72
球のV/Sが1/3だから、
円錐のV/Sの最大値がその半分に当たる1/6になるのは妥当な気がする。

　a^2 - ab + c^2 ≦ δ_1^2,
　b^2 - bc + a^2 ≦ δ_2^2,
　c^2 - ca + b^2 ≦ δ_3^2,
とする。この３式を足して
　ε^2 = δ_1^2 + δ_2^2 + δ_3^2
　≧ 2(aa+bb+cc) - (ab+bc+ca)
　= [(a+b+c)/√3]^2 + (5/2)[(a-b)/√2]^2 + (5/2)[(a+b-2c)/√6]^2
解はこの回転楕円体の中にある。
　長半径はεで、(1,1,1)方向。
　短半径はε√(2/5) で、↑と垂直な方向。
∴ 解は半径εの球の中にある。
そこで ε→0 とする。

単位球の体積は4π/3
単位球の表面積は4π
V/S=1/3=0.333……
単位球に内接する立方体の体積は
V/S=(2/√3)^3/｛6(2/√3)^2｝
=(2/√3)/6
=1/3√3
=√3/9
=1.7320508……/9
=0.19245009……
単位球に内接する円錐のV/S=1/6=0.1666……
形的に極めて妥当な値だと思う。

保守

>>64 元ネタ、内サイクロイド、2021年大阪公立大学など
ベクトル値関数 e(t)=(cos(t),sin(t))において容易に
e(s) + e(t) // e((s+t)/2) ( if s+t ≠ 0 ( mod π )
d/dt e(t) = e(t+π/2)
などはわかる。曲線は p(t) = 2e(t) + e(-2t) であるから
d/dt p(t) = 2( e(t+π/2) - e(-2t+π/2) )
であり、これは t+π/2 ≡ -2t+π/2 ( mod 2π ), すなわち 3t ≡ 0 ( mod 2π ) の場合を除いて
e(t+π/2) - e(-2t+π/2) // e(t+π/2) + e(-2t-π/2) // e(-t/2)
となり、x=a での法線は e(-t/2-π/2) と平行であり、接線の方程式は
e(-a/2-π/2)・( p - e(a)) = 0
である。曲線上の点 p(t) がこの接線上にあるのは
0 = e(-a/2-π/2)・( 2e(t) + e(-2t) - 2e(a) - e(-2a) )
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - 2sin(a+a/2) - sin(-2a+a/2)
= 2sin(t+a/2) + sin(-2t+a/2) - sin(3a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2) + 2cos(-t+a)sin(-t-a/2)
= 2sin(t+a/2)(1-cos(-t+a))
のときだから t = -a/2, -a/2+π, a ( mod 2π ) となる。
とくに接点以外の交点 P(-a/2), P(-a/2+π)を持つ。とくにその二点間の長さは
| P(-a/2) - P(-a/2+π) | = | (4cos(-a/2),4sin(-a/2)) | = 4
である。

>>68

正解
元ネタはこの人のあげた動画のどれかだけどわかんなくなった
https://www.youtube.com/@user-gy1ir1eb5d/videos
大学数学つかっていい解法

u = cbrt(x), v = cbrt(37-x) とおいて
u + v = 37/(u^2 - uv + v^2) は正値をとり分母の最小値はu=vのとき
そのときの u+vは 2(37/2)^(1/3) = 5.28957247269....であるから取りうる整数値は1〜5に限られる
さらに右辺の分母は代数的整数で、これが有理数となるとき、それは整数でなければならない。
このときさらに全体が整数となるなら分母は37の約数でなければならない。
以上によりとりうる整数値は1しかありえない。
d/dx(u+v) = 1/3(cbrt(1/x^2) - cbrt(1/(37-x)^2))
はx^2、(37-x)^2の絶対値を比較してx<37/2で単調増加、x>37/2で単調減少となり
関数値が1となりえるのは高々2か所である。

>>55
Wilson を使うのでござるか。
　(p-1)! ≡ -1　(mod p)
　712 を超える最小の素数 p=719 が素因数だった。
　713 = 23*31,　717 = 3*239

>>2の答えを教えてほしい

がんばれ

>>79
>>2の出題者です
とりあえずヒントとして

多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表すので、
x∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となることを利用します

logとって0~1で積分したら3以下は証明できたけどなぁ

x=exp(-t)で0~∞で積分だ、なるほど

>>83
素晴らしい
天才です

解答書きます

多項式Π_{a∈S} (1+x^a)のx^nの係数はSの部分集合で和がnとなるものの個数を表す
よってx∈(0,1)なら
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k))＜Σ_{k=0}^N x^k = 1/(1-x)
となる.

両辺対数を取って,
Σ_{k=1}^N log(1+x^(a_k))＜-log(1-x).

両辺xで割り、(0,1)で積分すると,
Σ_{k=1}^N ∫_0^1 log(1+x^(a_k))/x dx＜-∫_0^1 log(1-x)/x dx=π^2/6.

左辺についてx^(a_k)=yとおけば,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) ∫_0^1 log(1+y)/y dx= Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12.

よって,
Σ_{k=1}^N (1/a_k) π^2/12＜π^2/6より,

Σ_{k=1}^N (1/a_k)＜2.

面白いし不思議だなぁ
もっと普通に(例えば2進法とか使って)示せないんだろうか

これネタ元とかあります？
自作？

>>86
元ネタはこの論文です
https://www.renyi.hu/~p_erdos/1974-24.pdf

>>87
thx
よくこんなの思いつくなぁ

>>2
メンバーを小さい順にa_1,a_2,a_3,...,a_Nと表すと、k番目のメンバーは
a_k≧2^(k-1)
という評価ができる。
何故なら、1番目からk番目のメンバーだけで作り得る部分集合の数は、2^k個で、
空集合を除くと2^{k}-1個になる。
部分集合の和が全て異なる事が条件なので、1から2^{k}-1までの値を隙間無く取ったとして、
{k+1}番目のメンバーが取り得る最小の値は2^{k}となるから。

Σ_{k=1}^N (1/a_k)≦Σ_{k=1}^N(1/2^{k-1})=1/1 + 1/2 + ... + 1/2^{N-1} = 2 - 1/2^{N-1} < 2

[0,1]で一様分布する確率変数のiidの列をXn、X1〜Xnの平均をYnとすればYnは定数1/2に確率収束する(∵ 大数の法則)
よって特に分布収束する
よって1/Ynは2に分布収束する(∵ 連続写像定理)
特にE(Yn)はE(2)に収束する

>>90
その議論は集合 {3,5,6,7} が反例になるんじゃないかな
部分集合の和は全て異なるけど a_4 = 7 < 2^(4-1) になるから

そうなんだよな
自分も最初その方針で考えたけど意外と自由度あって詰んだ

>>92
なるほど、そのような例を想定していたんだ。
思慮不足でした。

>>81
ところでこの逆って示せるんだろうか

x∈(0,1)で
Π_{k=1}^N (1+x^(a_k)) ＜ 1/(1-x)

なら、Sの部分和は全て異なる？

{4, 5, 6, 7} とかが反例になりそう
(1+x^n)^4 < 1/(1-x) (n≧4, 0<x<1) が示せれば

>>96
反例になってそうですね！ありがとうございます。

内サイクロイド、ハイポ・サイクロイド、内擺(はい)線 とか云うらしい。
　a=3, b=1, a-b=2
　周長　8(a-b) = 16,
　面積　(a-b)(a-2b)π = 2π.

森口・宇田川・一松「数学公式Ｉ」岩波全書221 (1956)
　第5章, §68, p.284, 第6.89図 [a=3b]

>>98
(訂正)
　2つの共有点の距離は４ でした。。。

100と互いに素な100以下の自然数からなる集合の空でない部分集合の和が100の倍数となるものは何通りか．

Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 100
の意味と解釈して
Σ[X⊂S]Σ[x∈X]x = 2^(#S-1)Σ[x∈S]x
#S = 1のとき
解なし
#S = 2のとき
S={1,49},{3,47},{7,47},...,{23,27}のφ(50)/2 = 10個
#S = 3のとき
S={1,3,21},{1,7,17},{1,11,13},{3,9,13}の4個
∴14個

>>102
すみません、100の約数ではなく、100の倍数ですね

例えば
{1,99}
{1,3,97,99}
などがあります

"元の総和が100の倍数になる空でない集合"の意味か

ρ＝exp(2πi/100)とし、Φ_n(t)をn次円分多項式Φ_n(t)＝Π[k=1..n,(k,n)=1](t-exp(2πik/n))、φ(n)をEuler tautientとする。
f(t)=Π[m=1..100,(m,100)=1](1+t^m)とおけば(求める値+1)×100は
Σ[k=0..99]f(ρ^k)
である。
ここで f(ρ^k) の値は (k,100) = d とするとき
f(ρ^k) = |Φ_(100/d)(-1)|^(φ(100)/φ(d))
である。

訂正
Σ[ d|100 ] φ(d)Φd(-1)φ(100)/φ(d)
だ
40*1^1+20*5^2+20*1^2+8*1^5+4*5^10+4*1^10+2*2^20+2^40
= 1099552788000

>>106
素晴らしい
100で割れば正解です！
まさしく円分多項式を使う方針を想定してました

>>104
問題文が曖昧で紛れてしまって申し訳ない

有理数x,y,zでx+y+z=0かつxyz=1を満たすものは存在するか？

>>109
x+y+1/xy=0
x^2y+xy^2+1=0
y=(-x^2±√(x^4-4x))/2x
x^4-4x=w^2
contains rational points other than (0,0)?

x^4y^2+(xy)^3+x^2y=0
(v/8-1/2)^2 - u^3/64 + v/8-1/2 = 0 ( v/8-1/2 = x^2y、-u/8 = xy )
v^2/64 = u^3/64 + 1/4
v^2 = u^3 + 16

E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
E.gens()
[]
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtCBQEOzWE1eLle99NS8Yg1NAP3uC2Y=&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

E = EllipticCurve([0,0,0,0,16])
[E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtCBQEOzWE1ermhXvfTUvGINTR1XvZL8ouLM_Lz44tKk9KL80gINTb2C_My8EqBsLAAuJBcO&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

31は>>35より>>71の方が大きいと思うんですが、正解ですか？

訂正
x4y2 + x3y3 + x2y = x3y2
v2 - u3 + v = -uv (u = -xy, v = x2y )
v2 - u3 = 1(-uv) + 0u2 +1(-v) + 0u + 0
v2 + uv + v = u3 + 0u2 + 0u + 0
...........
E = EllipticCurve([1,0,1,0,0])
[E, E.gens(),E.torsion_subgroup().points()]
............
[Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + y = x^3 over Rational Field
[],
[(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (0 : -1 : 1)]]
............
https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxzVbBVcM3JySwoyUx2Li0qS9WINtQx0AFhg1hNXq5oVx0FV7301LxiDU0dV72S_KLizPy8-OLSpPSi_NICDU29gvzMvBKgbCwAT2wXag==&lang=sage&interacts=eJyLjgUAARUAuQ==

前>>113
>>114そんな一般的な式で表せるんですね。
正解できてよかったです。
安心して眠れます。

>>99

https://www.ne.jp/asahi/music/marinkyo/matematiko/formularo1.html.ja
の下の方にあるかも。。。

(1)凸多面体には三角形の面または次数3の頂点が必ず存在することを示せ

(2)三角形の面も次数3の頂点もない多面体を示せ
(文章で答えるのは面倒かも…)

>>118
(1)
n角形面の数をFn、次数nの頂点の数をVn、辺の数をEとすると凸多面体のオイラーの定理から
Σ(Fn+Vn)=2+E
また辺の数え上げから2E=ΣnFn=ΣnVn
よって
2=Σ(1-n/4)(Fn+Vn)
と変形できるが、n≧4なら右辺がゼロ以下で矛盾

(2)
上面と底面を開けた四角柱を少しずつ歪めてトーラス状に繋げる

(1) Z はコンパクトハウスドルフアーベル群であることを示せ。
(2) Z×Z のハール測度で全測度が 1 であるもの μ をとり確率測度とする。(x,y) を座標関数とする。このとき整数 a,b,c,n で
　
　S = {(x,y) | ax + by ≡ c ( mod n ) }

と表される集合 S は可測であることを示せ。またこの場合には

　μ(S) = lim[T→∞] # S∩[1,T]×[1,T] ...(*)

が成立することを示せ。
(3) S = { (x,y) | x と y は互いに素 }は可測であることを示し、このときもも(*)が成立することを示せ。さらに μ(S) を求めよ。

>>120
1行ぬけたorz
追加
整数環の加法群をZであらわし、クルール位相で位相群とみなすとする。

ごめん、まんまクルール位相だとコンパクトにならないかも

イヤ大丈夫だった
Gm = Z/m!Zに離散位相入れてコンパクト
直積　ΠGm もコンパクト
その中の閉部分群

　{(a(m)+m!Z) | a(m) ≡ a(n) (mod n!) (∀m>n)}

もコンパクトでコレが Z + Krull 位相

まだダメだ
× Zの可法群
◯ ΠZ/nZにZを埋め込んだときの閉包
で

条件(1)は？

ζ = exp( πi/3 ) とおいて

N( a+bζ ) = a^2 + ab + b^2
N( 2+ζ ) = 7

正値性の担保はどうするんだろう？

あと条件(3)は少し無駄あるよね
a,b,(a+b)のどれかが7の倍数なら他もそうなるから、aが7の倍数でないってだけで良さそうなのに

ω^2+ω+1=0
∀m∃k,a,b (2-ω)^m = (a+bω)(-ω)^k

>>131
なるほどね
でも4象限分をカバーするためには-ω^2も必要だから
正確には(-1)^p ω^qで調節が正しいような

というかi^kで調節すればいいか

いやiは格子からはみ出るからダメだw

>>132
いや失礼、(-ω)^5=-ω^2だ
だからω^3=1でとってるのか位数6になるように

ガウス環Rはpidで7のRでの素因数分解は

　7 = (2+ζ)(2+1/ζ)

よって

N(α)=7^m ⇔ α = ζ^p(2+ζ)^q(2+1/ζ)^r (q+r = m)

この内 ab(a+b)=0 ⇔ q=r で m:odd ならなし、m:even なら6個

剰余の定理より
　(2-x)^m = (xx+x+1)Q(x) + bx + a,
　(2-ω)^m = a + bω,

　(2-ω)^m = A(m) + B(m)･ω,
とおくと
　A(0)=1,　B(0)=0,
　A(m+1) = 2A(m) + B(m),
　B(m+1) = -A(m) +3B(m),
∴　A, B は整数。

　A+Bω = (a+bω)(-ω)^k,　0≦k≦5, a≧0, b≧0.
となるように、次のようにおく。

　A>0, B>0 のとき　(k,a,b) = (0, A, B)
　A≧-B≧0　のとき　(k,a,b) = (1, A-B, A)
　-B≧A≧0　のとき　(k,a,b) = (2, -B, A-B)
　-A>0. -B>0 のとき (k,a,b) = (3, -A, -B)
　-A≧B≧0　のとき　(k,a,b) = (4, B-A, -A)
　B≧-A≧0　のとき　(k,a,b) = (5, B, B-A)

平面上に有限個の点があり、白か黒の色が付いている.
さらに一つの直線上に全ての点が乗ることは無いものとする.
このとき, 2点以上の同じ色の点だけを通る直線を引けることを示せ.

Motzkin-Rabinの定理ってやつらしいね。無理ゲー

これか
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X07010114
面白い

>>141,142
仰る通りです
元々の論文の
1. 平面上の点を球面に射影する
2. 球面上の点を球面上の大円と1:1対応させる
2. グラフ理論の問題に帰着→オイラーの多面体定理で導く

という流れがあまりにエレガントなのでまた今度分かりやすくまとます

まとます→まとめます

>>143
解説お待ちしております

多面体定理とか使えるのか

面白いか分からないですが多分難しくはあると思います
https://imgur.com/a/1OrUJnb

高校スレとのマルチ

>>148
kwsk
漸化式そんな風に変形できる？
ほんと？

ああ、わかった。番号一個ずらしてn=1は別に確かめたのか

あれ？条件みたす列ある？
第２項すら正の解ないよ？

Solve[x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2]

訂正 5 ぬかした
Solve[5x^2+8sx+4s^2-(2√2)(x+s) == 0,s==1/√2]
https://ja.wolframalpha.com/input?i=Solve%5B5x%5E2%2B8sx%2B4s%5E2-%282%E2%88%9A2%29%28x%2Bs%29+%3D%3D+0%2Cs%3D%3D1%2F%E2%88%9A2%5D

定規のみを使って、平面上の与えられた直線と平行な別の直線を作図することは可能か。

ただし、定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能であるという定理は用いて良い

平行線かけたら平行線3本と円との6つの交点をXXと結んで直径線が得られて、別の角度で同じことをすれば別の直径線が得られて、交点として円の中心を得る

なんか簡単すぎる気がして、どこかミスってる？

そもそも

定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である

これ正しい？そんな定理聞いたことないけど。

スタイナーの定理というらしいね

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poncelet%E2%80%93Steiner_theorem

これのSteiner theoremの項目に書いてる

ユークリッド図法の作図は、与えられた必要な要素が点（または線）である限り、コンパスと直定規の両方を使って作図できるものであれば、直定規だけを使って作図してもよい。

なんでこれで

定規のみを用いて円からその中心を作図することは不可能である

が証明できるん？

メイン項目じゃなくて、サブ項目のSteiner's theoremのとこ見て

>>158
2次方程式が解けないからだと思うな

>>159
ほんとだ。あった。
言われてみれば当たり前か。

証明のナイーブな要約は以下の通りである。直定規を用いれば，線形射影変換のみが可能であり，線形射影変換は可逆操作である．直線はどのような線形射影変換のもとでも直線上に射影され、円錐断面は線形射影変換のもとでも円錐断面上に射影されるが、後者は偏心、焦点、円の中心が保存されないように歪む。異なる写像の連続の下では、中心は一意的かつ可逆的に写像されない。もし直線を使って円の中心を決めることができれば、このようなことは起こらない。線形変換は可逆的な操作であり、従って一意的な結果をもたらすので、一意的な結果が得られないという事実は、中心点の構築の不可能性を意味する。構築された中心の一意性は、構築を可逆にする追加情報に依存する。

例あるね。射影変換 (x:y:z) → (x,y,z+x/2) で単位円 x^2+y^2 = z^2 上の点の行先計算すると

(1:0:1) → (1:0:3/2) = (2/3:0:1)
(-1:0:1) → (-1:0:1/2) = (-2:0:1)
(0:0:1) → (0:0:1)

だから中心はずれるんだ。なるほど。

あれ、、線形射影変換って式で書くとどういうやつ？
一次分数変換なら分母がゼロになるとこでは定義されないような

>>155
正解
ちょっと頭の体操的な感じの問題って補足入れとけば良かった

PGL^3(R) を RP^2 へ作用させる
定義域は RP^2 全体

Mathlogで恐縮ですが、
>>140の解説を作りました
https://mathlog.info/articles/iVggjQl9cWAuXfxlo0CZ

GJ 素晴らしい。
もしかして単純平面グラフの辺を２色に塗り分けると一色頂点が必ず生じるまで言えてる？

>>167
それは残念ながら言えないですね
例えば四角形で考えて、青赤を交互にすればどの頂点も異なる色の変を結合してます

今回の場合は大円がクロスする設定なので言えるということですね

色の変→色の辺

でも「大円の交差」なんてほとんど使ってないような。
せいぜい c(v)≧4 くらいでしょ？
まぁgeneral nonsense かもね。

>>170
確かにそうですね
一般的な2色辺の単純平面グラフであれば、
「c(v)≦2となる頂点vが必ず存在する」
とまでは言えますかね

1の3乗根
　ω = {-1 + √(-3)}/2,　
　ω~ = {-1 - √(-3)}/2,
特性値
　ξ = 3 + ω,
　ξ~ = 3 + ω~,
を使って一般項を表わせば
　A_n = {ω ξ^n - (ω~)(ξ~)^n} / √(-3),
　B_n = {ξ^n - (ξ~)^n} / √(-3),
　C_n = {(ω~) ξ^n - ω (ξ~)^n} / √(-3),

Σ_{n=-∞}^∞ f(n) = ∫_-∞^∞ f(x)dx
となる0ではない実解析的関数f:R→Rは存在するか？

∫_-∞^∞ exp(-n^2/2) = √(2π)
∫_-∞^∞ exp(-n^2) = √(π)
sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2/2) = ϑ_3(0, 1/sqrt(e))≈2.50663
sum_(n=-∞)^∞ exp(-n^2) = ϑ_3(0, 1/e)≈1.77264
a √(2π) + b √(π) = a ϑ_3(0, 1/sqrt(e)) + b ϑ_3(0, 1/e)
has non trivial roots

>>175
自明解しかないorz

ま、もう一個つかえばいいんだけど

あるやん
a = √(π) - ϑ_3(0, 1/e)
-b = √(2π) - ϑ_3(0, 1/sqrt(e))

R正値、実解析的な R 上の関数の集合を S とし線形汎函数 L, l を

　L(f) = ∫_-♾ ^♾ f(x)dx
　l(f) = Σ_-♾ ^♾ f(n)

とし、S0 = { L(f), l(f) < ♾ } とおく
S0上で

sup{ L(f)/l(f) }, inf{ L(f)/l(f) }

を求めよ

>>174
F(t,n) := e^(-(t+n)^2)
∀t∈[0,1] ∫_(0≦t'≦1) Σ_(n∈Z) F(t',n) dt' = ∫_(x∈R) F(t,x)dx
∴ ∃t∈[0,1] Σ_(n∈Z) F(t,n) = ∫_(x∈R) F(t,x)dx

正ｎ角形には、それに内接する正方形が存在するらしい。

あたまえ

正多面体は内接球を持つ

線対称軸に直交する直線と正n角形の交点2つそれぞれ線対称軸に並行に直線引いて正n角形の交点2つを通る直線は線対象軸に直交するので4点で長方形
最初の直線を連続に変化させて長方形の辺の長さの差は連続的に変化するから中間値の定理により0すなわち正方形になることがある

>>183
あたまえ
5個しかない

準正多面体で内接球を持つものは
正多面体に限る

あたまえ
3個しかない

正多面体は５個だが
準正多面体は１３個

>>188
>準正多面体は１３個
そうなの？半正多面体じゃ無くて？

考えてみたら
内接球って
各面に接しないと行けないという縛りが無くてもいいよな
ならどんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？

不等式
∫[0,1] exp(-x)*(x^2+x+1) dx > 1
を示せ。

ん、普通に積分が実行できてしまうけどいいの？

>>190
三角形の内接円は？

>>193
必ず存在するでしょ？

>>190
>どんな多面体にも内接球はあるんじゃネ？
だとするとどんな四角形にも内接円はあるんじゃネ？

>>195
あるんじゃね？
>>190と同じ意味なら

https://ja.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5B0%2C1%5D+exp%28-x%29*%28x%5E2%2Bx%2B1%29+dx+%3E+1

ん、なんでx^2の係数をe-2にしてんの

ああ、x=1のときf(x)=1になるようにギリギリまで調整したのか

以下の2条件を満たす実数a,bを決定せよ。

・0≦x≦1で常に
exp(-x)*(x^2+ax+b) ≧ 1
が成立する。

・| ∫[0,1] exp(-x)*(x^2+ax+b) dx - 1 |
を最小とする。

◆10000099から10000139の範囲に
素数は三個

10000103
10000121
10000139

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,525}],{n,5000050,5000070}]

{0, 0, 10000103, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
10000121, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10000139}


◆的中率100％

最初の条件から積分は非負なのに絶対値つけてるのはなぜ？

-1

もちろん-1も込みでさ

2以上の自然数は二つの不足数の和として表せることを示せ。

不足数（ふそくすう、英: deficient number）とは、その約数の総和が元の数の 2 倍より小さい自然数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。

◆19999から20139の範囲に
素数は15個

20011 20021 20023 20029 20047 20051
20063 20071 20089 20101 20107 20113
20117 20123 20129

◆superPCM関数
Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,100}],{n,10000,10070}]

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 20011, 0, 0, 0, 0, 20021,
20023, 0, 0, 20029, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
20047, 0, 20051, 0, 0, 0, 0, 0, 20063, 0, 0,
0, 20071, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20089, 0, 0,
0, 0, 0, 20101, 0, 0, 20107, 0, 0, 20113, 0,
20117, 0, 0, 20123, 0, 0, 20129, 0, 0, 0, 0, 0}


◆的中率100％

複素平面の原点中心の単位円周上の
任意の４点a,b,c,dに対し
|(a-b)(b-c)(c-a)|+|(d-b)(b-c)(c-d)|
=|(a-b)(b-d)(d-a)|+|(b-c)(c-d)(d-b)|
であることを示せ

両辺に同じ項があるけどいいの？

3点を頂点とする�凾ﾌ面積を S(a,b,c) 等とすると
　S(a,b,c) + S(c,d,a) = ◇abcd = S(d,a,b) + S(b,c,d)

4点は同一円周上にあるから、外接円の半径は4つともR.
正弦定理などから
　S(a,b,c) = |a-b||b-c||c-a|/(4R),　etc.
これを上式に入れる。

4点の並び順でダメになる悪寒

∫[0,1] exp{-x}*(xx+ax+b) dx - 1 = (1-5/e) +(1-2/e)*a + (1-1/e)*b,

f(x) = exp(x) - (xx+ax+b),
f'(x) = exp(x) - (2x+a),
とおき、x=t で接線を曳くと
　y = f(t) + f '(t)(x-t)
　= {(2-t)exp(t) + (1-t)^2 -a-b-1}x + {(1-t)exp(t) + tt -b}(1-x),
この｛係数｝が 非負となることから
　a = exp(t)-2t,
　b = (1-t)exp(t)+tt,
　0 ≦ t ≦ 0.530344380003 = t。
とくに
　t = 0.91609609550723623235
のとき与式は0.
　a = 0.66757810220720117214
　b = 1.04871564137916267277

　Max｛ exp{-x}*(xx+ax+b) -1 | 0≦x≦1 ｝= 0,
は
　min｛ f(x) | 0≦x≦1 ｝= 0,
ここに
　 f(x) = e^x - (xx+ax+b).

210と同じ円上の3点をa,b,cとし
a,b,cでその円に外接する三角形があるときには
その面積は
|a-b||b-c||c-a|/|a+b||b+c||c+a|

絶対値をつけずに書いたのがガウス

a = e^(iα),　b = e^(iβ),　c = e^(iγ)
とすると、外接�凾ﾌ頂点 (接線の交点) は
　A = (b+c) /{1+cos(β-γ)},
　B = (c+a) /{1+cos(γ-α)},
　C = (a+b) /{1+cos(α-β)}.
　S = r*(|A-B| + |B-C| + |C-A|)/2,

r*の意味は？

絶対値なければ自由に a,b,c,d とれるんだな。大体初等幾何つかう証明は配置で場合わけしないといけない。今回のは絶対値のせいで配置によってはそもそも成立しない。

【慶應理工第3問の一般化】

aは1より大きい実数の定数とする。
微分可能とは限らない連続関数f(x)はf(x)>0をみたし、1≦x≦aで単調に減少するものとする。tを実数とし、Sを
S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx
で定める。
Sが最小になるようなtをaで表せ。

◆素数位置特定アルゴリズム
(superPCM関数)

Table[Product[(2n-1)^(C(0,3-a))
C(0,C(0,((n-a)^(2a-2)mod(2a-1)))),{a,3,30}],{n,50,232}]

aの終値は、
nの初期値よりも小さくする
入力条件はそれだけ

>>219
r*の意味は？

>>222
変な問題
aだけで表せるはずない

√15+√10の整数部分を求めよ。
（灘高校）

【慶應理工第3問の一般化】

aは1より大きい実数の定数とする。
微分可能とは限らない連続関数f(x)はf(x)>0をみたし、1≦x≦aで単調に減少するものとする。tを実数とし、Sを
S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx
で定める。
Sが最小になるようなtをfとaで表せ。

>>219
r*の意味は？

√15 + √10
= 7 - ( 4 - √15 ) + ( √10 - 3 )
= 7 - 1/( 4 + √15 ) + 1/( √10 + 3 )
> 7

√15 + √10
< √20.25 + √12.25
= 4.5 + 3.5
= 8

√15 - √10 = (15-10)/(√15 + √10) > 5/(5√2) = 1/√2,
を再び上の式に入れると
(√15 + √10)^2 < 2(15+10) - 1/2 = 7^2 + 1/2,
∴　√15 + √10 < 7 + 1/(7･4) = 7.035…

>>226
√16-√15 = 1/(√16+√15) < 1/(√10+√9) = √10-√9
∴ √15+√10 > √16+√9 = 7
√15+√10 < √16+√16 = 8

g(x) = f(√x)/√x は単調減少、g^(-1)(x) = h(x) とする。
S=∫[1,a] |f(x)-tx| dx
　=∫[1,a] |f(x)/x-t| xdx
　=∫[1,a^2] |g(u) - t| du/2
　=∫[f(a)/a,t] |a^2 - h(v)| dv/2
　+∫[t,f(1)/1] |h(v) - 1 | dv/2 ( u = g(v) は v = f(√u)/√u の逆関数 )
dS/dt = -|a^2 - h(t)| + |h(t) - 1 | = - a^2 - 1 + 2h(t)
= 0 ( if t = g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) ),
<0 ( if t < g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) ),
>0 ( if t > g((a^2+1)/2) = f((a^2+1)/2)/((a^2+1)/2) )

>>219
r*の意味は？

f は連続としてよい。
(∵) Pを任意にとるときx軸の点A,Bとy軸の点C,DでPは線分AC,BD上にあるとしてよい。(∵ x軸、y軸上に不連続点は高々可算個しかないがPを通る直線は非可算無限個ある。)P'がPに十分近いときPを通る直線ACに平行な直線とx軸y軸の交点A'C'をとればA'はAに十分近く、C'はCに十分ちかい。同様にB',D'をとれば仮定よりf(A'), f(B'), f(C'), f(D')はf(A), f(B), f(C), f(D)に十分ちかい。□
A(0,0), B(1,0), C(0,1) として BC中点を L, CA を M AB の中点を N とする。A,B,C は不動点としてよい。
(∵) f(A),f(B),f(C) が同一直線上なら l を直線 AB,m を直線ACとして n = f(l) = f(m) とすればこれらはどちらも f(A) を内部に含む n 上の区間でなければならないから f(l)∩f(m) は f(A) 以外の点を含まねばならず矛盾である。よって f(l) ≠ f(m) であり、とくに affine 変換 g で g(f(A) = A, g(f(B)) = B, g(f(C)) = C となるものをとって f の代わりに gf で議論すればよい。

L, M, N も不動点としてよい。
(∵) もし不動点でないものが一つでもあれば点をとりなおして
(a) f(M)はAに近づくか不動、f(N)はAから遠ざかるか不動、
(b) M,Nのいずれかは不動点でない
と仮定してよい。(∵ チェバの定理) BA, AC を t:1-t に内分する点を P,Q とする。0<t<1/2 のとき P は開線分MB上、 Q は開線分AN上である。とくに直線PQと直線BCの交点Xは半直線CB上にある。一方で仮定より t → 1/2-0 とすれば f(P) → f(M), f(Q) → f(N) である。とくに直線 f(P)f(Q) と直線BC の交点は半直線BC上にある。しかし f は直線上の順番を変えないので矛盾である。
以上の議論を不動点と確定した３点としてとりかえることにより△ABC上の点で座標が分母が2べきの有理数である任意の有理点(以下Fと記す)はすべて不動点である。
以上の準備の元 f が恒等写像になることを示す。P を任意にとり ε>0 を任意に選ぶ。十分小さい δ>0 を f(B(P,δ)) ⊂ B(P,δ) となるように選べる。B(P,δ)の点ＱとFの相異なる４点 X,Y,Z,W を QXY, QZW が同一直線上になるように選べる。(∵ X,Z を F から選び △ABC上のY0,W0を直線PX, 直線PZから選ぶ。 △ABC上のX,Zとことなる二点 Y,W に対して直線 XY と直線 ZW の交点をあたえる関数 F(Y,W) は Y,W について連続でF(Y0,W0) = P。) このとき f(Q) = Q であり仮定から f(P)∈B(f(Q),ε) でなければならないから f(P)∈B(f(P),ε) でなければならない。ε は任意だから f(P) = P である。

誤爆orz

誤爆ついでに訂正もここに
f の像が全部同一直線上にのる可能性の吟味が抜けてた

f は相異なる2直線を異なる2直線に移す
(∵) ひと組でも相異なる直線が同一直線に移されるなら f の像は全て同一直線に移されるのは容易に示される。
よってim(f)は実軸としてよい、すなわち実数値関数とみなしてよい。
m = supp{ f( P) } とおいて m < ∞ なら g(P) = - log( m - f(P)) に取り替えて m = ∞ としてよい。
まず半直線 OA で sup{ f( OA)} = ∞ となるものが取れる事を示す
第一象限の点列 Pn が lim f(Pn) = ∞ を満たすとしてよい
A = (1,0),B = (0,1), b= sup{ f( OB)} とおいて b = ∞ ならそれでよいので n < ∞ とする
全てのn で f(Pn) > b としてよい
Pnを通る傾き-1の直線とxj軸y軸の交点をQn,Rnとすれば f(Tn)≦b<f(Pn)よりf(Qn) > f(Pn) だからlim f(Qn) = ∞である

以下A = (1,0)、sup{ f( OA)} = ∞ とする。
さらに f を x 軸に制限したとき原点で連続としてよい f(O) = 0 としてよい
Oを端点とする半直線の全体を考える
コレはS^1と同一視できる
まず半直線OPに対してf(OP)は全て非負値か全て非正値である、前者を正、後者を負と呼ぶ
OP、OQが共に正または負ならOP,OQを端点とする劣弧上のORもそうである
よって正の半直線のなす集合は半円になる
正の半直線のなす集合は開集合である事を示す。
まずQ(0,1), R (0,-1)、f(Q), f(R) < f(P) ととりQP, RPの外分点S,TをPの近い側に取ればOS,OTは正だからOPは内点である
OPがOAでない正の半直線とする
x軸上でfは連続だから(-∞,0),(0,∞) からQ,Rをf(Q), f(R) < f(P) ととりQP, RPの外分点S,TをPの近い側に取ればOS,OTは正だからOPは内点である
以上により正の半直線の集合は開半円で端点は共に負の半直線であるが矛盾である⬜︎

◆√15+√10の整数部分を求めよ

√15+√10＜√16+√10
√15+√10＞√15+√9

√15+3＜√15+√10＜4+√10
√15+3＜4+√10

√15-√10＜4-3
∴√15+√10＞4+3

自然数mの異なる素因数すべての積をf(m)とする(ただしf(1)=1とする。例えばf(12)=2×3=6)　数列｛a_n｝を、a_1を自然数、
a_(n+1)=a_n+f(a_n) (n=1,2,...)
で定める。｛a_n｝の連続する項には任意の長さの等差数列を含むことを示せ。

根基よく やってますね。。。

長さについての帰納法
a1〜an が等差とする
f(an)/f(a1) = k としてb1 = ka1から始めるとf(b1)〜f(bn) = f(an) となりb1〜b[n+1]が等差

>>219
r*の意味は？

てかn-1以下の素数全部かけたやつからスタートしたら第n項まで等差か

a_1がどんな自然数であっても、ってことじゃないの？

f(an)のなす列をbnとする
cn = an/bn は自然数列となる
bnの値が更新される番号を並べてnkとする、ie bn ≠ b_n-1 ⇔ ∃k ≧ 2 n = nk で n1 = 1 とする
n_k+1 - n_k が有界として上界 m をとる
cnk の値の増減を考える
cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk)
である、つまり新しいc_n+1 は c_n に高々m加えられた後、bn_k+1/bnk で割って得られる
ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない
よって十分大きなkでbn_k+1/bn >2mとなり
cn_k+1 < (cnk + m)/(2m) < cnk
となりcnkは自然数の単調減少列となり矛盾を生じる

×ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で有界ではあり得ない
◯ここでbn_k+1/bnは相異なる自然数で2m以下の項は高々有限個しかない

>>248
cn_k+1 = ( cnk + (n_k+1-nk ) / ( bn_k+1/bnk)
これはどうして成り立つ？

n = nk, m = n_k+1 までは bn ずつ増えるので

an, an+bn, an+2bn, ... , an+(m-n)bn = am

bn で割って

cn + (m-n) = am/bn = cm × bm/bn

より

a_1≧2 としてよい。

f(a_n) の素因数分解に出現する素数の集合を S_n と置くと、
f(a_n)＝Π[p∈S_n] p である。さらに、a_{n＋1}＝a_n＋f(a_n) により、
f(a_n) に出現する素因数は a_{n＋1} の素因数としても出現する。
よって、f(a_{n＋1}) の素因数としても出現する。
よって、S_n は集合として広義単調増加である。

数列 a_n の中に含まれる等差数列の長さに最大値があったとして、
その長さを d とする。a_{n＋1}−a_n ＝ f(a_n) であるから、
もし f(a_n), f(a_{n＋1}), …, f(a_{n＋d−1}) が全て同じ値なら、
a_n 〜 a_{n＋d} の(d＋1)項は等差数列となって矛盾する。
よって、ある n≦i＜j≦n＋d−1 に対して f(a_i)≠f(a_j) である。
f(a_n)＝Π[p∈S_n] p だったから、S_i≠S_j である。
また、S_n は広義単調増加なのだった。
よって、S_1,S_2,S_3,S_4,… と順番に見ていくと、
S_* が増加せずに停止しているのは連続する(d−1)個までが
限界で、それ以上だと新しい素数が必ず追加される。
よって、|S_n|≧ n/d (n≧1) である。すると、

a_{nd} ≧ f(a_{nd}) ＝ Π[p∈S_{nd}] p ≧ Π[k＝1〜n](k番目の素数) ≧ n！

である。一方で、a_{n＋1}＝a_n＋f(a_n)≦2a_n により、
a_n≦2^{n−1}a_1 なので、a_{nd}≦2^{nd−1}a_1 である。
よって、n！≦2^{nd−1}a_1 となるが、nが十分大きいとき、
この不等式は成り立たない。

>>207
これ数論の難問パターンっぽいけど、初等的に解けるの？

>>253
まあ解ける
難しいのは有限和のΣの入れ替えと Σ_(n∈N) 1/n^2 = π^2/6 くらい
ただ想定解では若干場合分けが面倒な箇所がある

常にちょうど２個？

a_1=1、a_(n+1)=a_n+⌊√(a_n)⌋ とする。(実数A を超えない最大の整数を⌊A⌋ と書く)。
任意の素数pに対し、{a_n} 内にpの倍数の項が無数にあることを示せ。

>>255
ごめんちょっとどういう質問かわからない
３個や４個で表せないことを示せという問題ではないよ（3=1+1+1等反例があるので）
勿論１個で表せるからOKというのもノーカン
（だから例えば3が不足数だからといって3=3だからOKとするのではなく、3=1+2という例が常に存在することを示してほしい）

>>257
これであってる？
∀n∈ℕ ∃a,b∈ℕ s.t. n = a+b, σ(a)<2a, σ(b)<2b
(σ(x)はxの正の約数の総和)

>>258
そう　ただし最初は ∀n∈ℕ-{1} ね

wikiの完全数の記事により、自然数全体の中での
偶数の完全数の割合は自明に 0 である。
また、奇数の完全数の割合も 0 であることが計算できる。
さらに、wikiの過剰数の記事により、自然数全体の中での
過剰数の割合は 0.2474 から 0.2480 の間であるらしい(証明は知らん)。
よって、不足数全体の集合を A と置けば、

liminf[n→∞]｜A∩[1,n]｜/n ≧ 1−0.2480 ＞ 1/2

なので、ある n_0 が存在して、n≧n_0 のとき｜A∩[1,n]｜/n ＞ 1/2
となる。すると、任意の n≧n_0 は2つのAの元の和で表せる。

なので、結果そのものは不思議ではない。
まあ、想定解はこんなのではないだろうが。

とりあえず反例が高々有限個まで言えた

B(x) を x以下の２冪の集合とする。
容易に#B(x)>logx/log2-1であり全てのm∈B(x)は不足数である
n が不足数の和で書けないとすると任意のm∈B(n/2)についてn-mは不足数ではないからσ(n-m) ≧ 2n -2m ≧ n だから
Σ[m∈B(n/2)]σ(n-m) ≧ n#B(n/2) ≧ n( logn/log2 - 2)...(★)
である
一方で
Σ[k≦n]σ(k) ≦ Σ ⌊n/l⌋≦ n∫_1/2^n+1/2 dx/x = log(2n+1)...(⭐︎)
よって
log(2n+1)≧logn/log2-2
⇔ (2n+1)^log2 ≧ n /e^2
⇔ n≦3241
が必要である

3冪も使ったら32以下まで絞れた

https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282n%2B1%29%E2%89%A7%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%282%29%2B%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%283%29

間違った
https://ja.wolframalpha.com/input?i=log%282n%2B1%29%E2%89%A7log%28n%2F2%29%2Flog%282%29%2B%28log%28n%2F2%29-1%29%2Flog%283%29-2
48以下

>>261
☆は最右辺が nlog(2n+1) の誤りだとしても成り立たないと思う
少なくとも Σ_[k≦n] σ(k) ≧ Σ_[k≦n] k = n(n+1)/2 だから、上から抑えるとしたら二次以上の関数になるはず

なぜ
Σ[k≦n]σ(k)
の「あるn以下の自然数として出てくる自然数」を「自然数lが出現する回数」と考えて「lが出てくる回数は高々⌊n/l⌋回」ってよくみるテクニックだと思うけど
つまり
Σ[k≦n]Σ[l|k]1
=Σ[l≦n]Σ[k≦n,l|k]1
=Σ[l≦n]Σ⌊n/l]
ちなみにコレはwikiに載ってるσの漸近評価
limsup σ(n)〜nlog(log(n))
ともマッチしてるのではないかと

Σ[k≦n]Σ[l|k]1 じゃなくて
Σ[k≦n]Σ[l|k]l じゃないの？そうするとその次は
=Σ[l≦n]lΣ[k≦n,l|k]
=Σ[l≦n]l[n/l]
になる。lをどこかで1と勘違いして係数落としたのでは？

もう少し丁寧に書けばメンドイので自然数は[1,n]で走らせるとしてS={(k,l) ; l|k} のindicatorをμ(k,l)として
Σ[k]σ(k)
=Σ[k]Σ[l]μ(k,l)
=Σ[l]Σ[k]μ(k,l)
=Σ[l]Σ[k]⌊n/l⌋
indicatorのsumupの形にして足す順番変えるのはよく使うハズ
確か三井先生の解析数論の教科書で初めて見たかな？

>>268
えっねえ σ は正の約数の総和であってるよね？
絶対引数以上になる関数を n まで足して n(n+1)/2 以上にならないっておかしいと思わない？

間違ってますか？
指摘して下さい

訂正ついでに

Σ[k]σ(k)
=Σ[k]Σ[l]μ(k,l) (kを固定してlを走らせてsのindic.をたし合わせてσ(k)になる)
=Σ[l]Σ[k]μ(k,l) (足し算の順番変えても同じ)
=Σ[l]⌊n/l⌋ (lを固定してkを走らせてSのindc.を足すとn以下のlの倍数になるから⌊n/l⌋になる)

和の上からの評価
Σ[l≦n]n/l
は各項をy=n/xのx=lでの接線とx軸,x=l±1/2で囲われた台形の面積と考えてその総和は1/2≦x≦n+1/2,0≦y≦n/xの面積以下なので
∫_1/2^n+1/2 n/x dx
= n log(2n+1)
で抑えられる

問題なくない？

>>271
何度も指摘してるからちゃんと読んで…
「lが出てくる回数が[k/l]回」なら何でそのままlを[k/l]回足してあげないの？
その本に書いてある σ の定義はちゃんと不足数を定義するための σ と同じ定義って確かめた？

ごめんわからない

>>271
のどの等号が間違ってる？

σ(k) は k の正の約数の総和であるから
σ(k) = Σ_(l|k) l
これを k=1 から n まで足し合わせれば
Σ_(k=1,n) σ(k) = Σ_(k=1,n) ∑_(l|k) l
だから >>271 の書き方に合わせると２行目は Σ[k]Σ[l]lμ(k,l) にならなければならないところ
これでいい？

n=10でやってみたけどどうみても合ってるとしか思えないんだけど

　１◉◯◯◯◯◯◯◯◯◯
　２◉◉◯◯◯◯◯◯◯◯
　3◉◯◉◯◯◯◯◯◯◯
　4◉◉◯◉◯◯◯◯◯◯
　５◉◯◯◯◉◯◯◯◯◯
　６◉◉◉◯◉◯◯◯◯◯
　７◉◯◯◯◯◉◯◯◯◯
　８◉◉◯◉◯◯◯◉◯◯
　9◉◯◉◯◯◯◯◯◉◯
１０◉◉◯◯◉◯◯◯◯◉

⌊10/1⌋+⌊10/2⌋+⌊10/3⌋+⌊10/4⌋+⌊10/5⌋+
⌊10/6⌋+⌊10/7⌋+⌊10/8⌋+⌊10/9⌋+⌊10/10⌋
=
10+5+3+2+2+1+1+1+1+1
=
1+2+2+3+2+4+2+4+3+4
=
σ(1)+σ(2)+σ(3)+σ(4)+σ(5)+
σ(6)+σ(7)+σ(8)+σ(9)+σ(10)

偶然の一致ですか？

>>277
そりゃあなた正の約数の「総和」じゃなくて「個数」を数えてるよ……………………

そうだわかったすいません

こういう chatgpt みたいな間違い方って、人間もよくやるんだよな。
一度そうだと思い込んじゃうと、なかなか抜け出せないよな。

面白い数学の問題

問題：

5つの数字を使って、足しても掛けても10になる式を作れるか？

ヒント：

5つの数字はすべて異なるものとする。
同じ数字を2回以上使うことはできない。
四則演算（足し算、引き算、掛け算、割り算）を自由に使うことができる。

解答例：

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
15 / 3 = 5
5 * 2 = 10

解説：

この問題は、一見難しそうに見えますが、いくつかのヒントを参考にすれば、意外と簡単に解くことができます。

まず、5つの数字を使って足しても掛けても10になる式を作るためには、5つの数字の合計が10の倍数である必要があります。

そこで、5つの数字の合計が10になるような数字の組み合わせを探してみましょう。

例えば、1、2、3、4、5という数字の組み合わせであれば、

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

となり、15は10の倍数なので、この組み合わせは条件を満たしています。

次に、15を5つの数字を使って掛けても10になる式を作ってみましょう。

例えば、

15 / 3 = 5
5 * 2 = 10

となり、この式は条件を満たしています。

このように、いくつかのヒントを参考にすれば、5つの数字を使って足しても掛けても10になる式を作ることができます。

その他：

この問題には、他にも様々な解答例があります。

例えば、

1 + 2 + 3 + (4 * 5) = 23
23 / (2 + 3) = 10

という式も条件を満たしています。

ぜひ、あなただけの解答例を見つけてみてください。

怖すぎ

x,y,z自然数として、全て共通の素因数を持たない場合にP(x,y,z)=1
共通の素因数を持つ場合にP(x,y,z)=0とした場合に
lim[x,y,z→∞]P(x,y,z)/(xyz)
の値は？

>>283
0

>>283
訂正
lim[n→∞]Σ[i=1,n]Σ[j=1,n]Σ[k=1,n]P(i,j,k)/(n^3)

1/ζ(3)

f(x+y)=f(x)+f(y)を解け、但しf(x)は可測関数。

解は非可算無限存在

>>288
可測で

前>>116
>>281
少なくともラスト2行は違う。
1 + 2 + 3 + (4 * 5) =6+20=26≠23
23 / (2 + 3) =23/5=4.6≠10

補題　(X,μ) が位相空間 X とその上の全測度が有限の Borel 測度の組とし、f を有界可測関数とする。このとき 任意の ε>0 に対して可算開被覆 X = ∪nUn と実数列 rn が存在して g(x) = min { rn ; x∈Un } が f(x) ≧ g(x), ∫f(x)dx ≦ ∫g(x)dx + ε を満たす。
(∵) グラフ集合 G = { (x,f(x)) } が Caratheodory 可測だから開被覆 Un と区間の列 (rn,sn) が存在して g(x) = min { rn ; x∈Un } が f(x) ≧ g(x), ∫f(x)dx ≦ ∫g(x)dx + ε
1) G ⊂ ∪nUn×(rn,sn)
2) 買ﾊ(Un)×(rn,sn) < ε
を満たすものがとれる。この (Un,rn) が条件を満たす。□

定理　ℝ→ℝが有界可測でdense集合 D 上 0 であるなら恒等的に 0 である。
(∵) I =(a,b) 上に制限して任意の m∈ℕ に対して (Umn,rmn) を gm(x) = min { rmn ; x∈Umn } が f(x) ≧ gm(x), ∫f(x)dx ≦ ∫gm(x)dx + ε を満たすようにとれる。このとき lim gm(x) は (a,b) において f(x) に一次平均収束する。よって必要なら部分列をとって f(x) にほとんどいたるところで各点収束するとしてよい。よって‖gm - f ‖∞ < 1/m としてよい。rmn = g(x) である x が存在しないなら (Umn,rmn) を族の中から除いてもよいからすべての n で rmn = g(x) である x がとれるとしてよい。よってこのときすべての n で -1/m < rmn ≦ 0 が成立するから主張が成立する。□
定理 f:ℝ→ℝが可測である加法群の準同型写像なら一次関数である。

(∵) f(x) を f(x) - f(1)x にとりかえて f(1) = 0 としてよい。このとき任意の有理数 r に対して f(r) = 0 である。π:ℝ→ℝ/ℤを自然な射影とすればこれは加法群の準同型でℝ/ℤをℂの単数群と同一視して ℝ×ℝの単位円に連続に埋め込める。pi :ℝ×ℝ→ℝ(i:1,2) を自然な射影として qi = piπf は有界、可測、ℚ上定数だから補題により定数である。□

a_1=1、a_(n+1)=a_n+[√(a_n)]とする。(実数A を超えない最大の整数を[A]と書く)。
任意の素数pに対し、{a_n} 内にpの倍数の項が無数にあることを示して下さい。

>>292
＞定理　ℝ→ℝが有界可測でdense集合 D 上 0 であるなら恒等的に 0 である。

f(x) ＝ sin x (xは無理数), 0 (xは有理数)

という関数は有界可測で Q 上 0 だが、
f は恒等的に0ではないし、恒等的に定数でもない。

可測関数の定義は
「{(x,y)| y≦f(x)}がX×Yの可測集合」
じゃないの？
その関数で成立してる？

あれ？成立してる？

あれ？わからん>>292どこおかしい？

ああ、わかった。
>>292は撤回

>>287
ヒントおながいします

まてまてなんか降りてきた
もちょっとまって

やっぱりヒントおながいしますorz

>>302
シュタインハウスの定理
測度正の可測集合A、Bに対しA+B はある閉区間を含む。

もしかしてこれだけ？
f(ℚ) = 0 としてよい。以下 f を [0,1) に制限したものを g とする。
g(c)>0 が存在したと仮定するとき μ(g-1([a,b))) > 0, 0<b-a<cを満たすcがとれて x∈g-1([a,b))→g(⌊c+x⌋) ∈ [a+c,b+c) となりm=μ(g-1([a+c,b+c))) > 0 となる。
同様にしてm=μ(g-1([a+nc,b+nc))) > 0 (∀n∈ℕ)だから
μ(∪n∈ℕg-1([a+nc,b+nc))) = ∞
となり矛盾する。

>>303
へぇ、そんな定理があるんや
ちなみにg-1はg^(-1)ね

>>303
略証
A、Bコンパクトとする
F(t)=∫χ_A(x)χ_(B+t)(x)dxは非負連続関数
∫F(t)dt=|A||B|>0なので、F(t0)>0となるt0がある
t0の近傍UがU⊂A+B

>>294
ヒントおながいします。
階差数列 b_n = a_n+1-a_n はほとんど2個ずつ同じ値をとり,
a_n = k^2 が平方数のときだけb_n = b_n+1 = b_n+2 = k となることは気づいたけど使います？

>>306
>A、Bコンパクトとする
なんで？

>>308
エゴロフの定理かルベーグ測度の内部正則性

積分値有限にするためじゃない？

>>285
>>286
どうやって示すんだろう

A=B=[0,1]∩(R\Q)？

f*g(t) = ∫f(x)g(t-x)dx が t について連続になることを示すのに手っ取り早いのはDCT使うことだからやろ。
f(x)g(t-x)が一様に可積分ならDCTがつかえる。
連続関数で一様近似しといてからDCTつかえばlim_b→a∫f(x)g(b-x)dx = ∫f(x)g(a-x)dx になる。
しかしf(x)=χ_A(x),g(x)=χ_B(x)においてA,Bが有界でなければf(x)g(t-x)は一様可積分とはかぎらないし畳み込みの連続性はそんなに明らかではない、というか成立しない。

もしかして4冪しか平方数でない？

できた
こんな数列よく見つけてくるなぁ

帰納的に次が示される
(＊) 任意の k で 4ᵏ = aₙ となる n がとれる
この n と 1≦l≦2ᵏ について
aₙ₊₂ₗ = (2ᵏ+l-1)² + 2×2ᵏ
aₙ₊₂ₗ₊₁ = (2ᵏ+l)² + 2ᵏ - l
が成立する
特に
4a_(n+2l+1)
= 4(2ᵏ+l)^2 + 4×2ᵏ - 4l
= (2×2ᵏ + 2l-1)^2 + 2ᵏ⁻³ - 1
だから任意の奇素数pに対して
2ᵏ⁻³ - 1≡０ ( mod p )
2×2ᵏ + 2l-1 ≡ 0 ( mod p )
1≦l≦2ᵏ
を満たす無限個の k,l がとれるから aₙ ≡ 0 ( mod p ) がとれる
p=2 の場合は(＊)から直接示される

保守上げついでに
>>294ってpが素数は必要ない？

〔問題〕
a,b,c を正の整数とし、1≦a<b<c とする。
　M = 1 + 3^a + 3^b + 3^c
が立方数となるような (a,b,c) の組は無数にあることを示せ。

・高校数学の質問スレ_Part432 - 883

a=n+1, b=2n+1, c=3n
M=(1+3^n)^3

n次正方行列Aの各成分がAij=gcd(i,j)のとき
det A=φ(1)φ(2)…φ(n)となることを示せ

ただしgcd(i,j)はiとjの最大公約数
φ(k)は1〜kのうちkと素な数の個数である

以下μはメビウス関数とする
d|n を真の約数とする
素数 p とp進付値 v でv(d) < v(n) ととる
n の約数の集合A,Bを
A = { x | v(x) = v(n) }
B = { x | v(x) = v(n) - 1 }
とする x がA∪B に入らなければμ(n/x) = 0である
よって
Σ[x|n] μ(n/x)(d,x)
= Σ[x∈B] μ(n/x)(d,x) + Σ[x∈B] μ(n/(px))(d,px)
= Σ[x∈B] μ(n/x)(d,x) + Σ[x∈B] μ(n/(px))(d,x)
= 0
また
Σ[x|n] μ(n/x)(n,x)
= Σ[x|n] μ(n/x)x
= φ(n)
である
よってnの真の約数dに対して第一項目d列をμ(n/d)倍して第n列に足し合わせると第 n 列は第　n 行目がφ(n)となりその他は0となる

>>321
正解！

高校数学の質問スレ_Part433 - 13 から

11√2と√211+1 は、
どちらが大きいか小数点を
使わずに比較せよ

(11√2)^2=242

(√211+1)^2=212+2√211
212+28<212+2√211<212+30

√211+1<11√2

BC = CD = DE = としてよい
∠A = 2x, ∠BEC = y とおく
△ABE が二等辺三角形だから
∠AEB = π/2 - x
△DCE が二等辺三角形だから
∠DCE = ∠DEC = π/2 - 2x, CE = 2sin(2x)
条件より
∠BCE = π - ∠A - ∠DCE = π/2
さらにBC = 1, CE = 2sin(2x)
∴ tan(y) = 1/(2sin(2x)) ... ①
条件より△CEFは直角三角形でCE = 2sin(2x), EF = 1/2 だから
cos(y+π/2-x) = 1/(4sin(2x)) ... ②
示すべき式は
0 = ∠A - ∠E = 5x - y - π
大先生に聞いたらz=0にはならんらしい

tan(y) = 1/(2sin(2x)), cos(y+π/2-x) = 1/(4sin(2x)) = 1/(4sin(2x)) , z = 5x - y - pi

https://ja.wolframalpha.com/input?i=tan%28y%29+%3D+1%2F%282sin%282x%29%29%2C+cos%28y%2B%CF%80%2F2-x%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29+%2C+z+%3D+5x+-+y+-+pi

>>328
0 < x < pi/4, 0 < y < pi/2 って追加すると解っぽいのが出てきたよ

ポイ値はでるけどやっぱり厳密値ボタン押すと0ではないような

4sin(2x)sin(x)-2cos(x) = 1/cos(y),1/(2sin(2x)) = tan(y),z = 5x - y - pi,0<x<pi/4,0<y<pi/2,z


https://ja.wolframalpha.com/input?i=4sin%282x%29sin%28x%29-2cos%28x%29+%3D+1%2Fcos%28y%29%2C1%2F%282sin%282x%29%29+%3D+tan%28y%29%2Cz+%3D+5x+-+y+-+pi%2C0%3Cx%3Cpi%2F4%2C0%3Cy%3Cpi%2F2%2Cz

と思ったらy消去してx,zの連立方程式にしたらピッタリ０だそうな。

tan(5x - z) = 1/(2sin(2x)), cos(5x - z-π/2-x) = 1/(4sin(2x)),0<x<pi/2,pi<5x - z<3*pi/2,z

https://ja.wolframalpha.com/input?i=tan%285x+-+z%29+%3D+1%2F%282sin%282x%29%29%2C+cos%285x+-+z-%CF%80%2F2-x%29+%3D+1%2F%284sin%282x%29%29%2C0%3Cx%3Cpi%2F2%2Cpi%3C5x+-+z%3C3*pi%2F2%2Cz

tan(y) = 1/(2sin(2x))...�@
sin(x-y) = 1/(4sin(2x))...�A

において 0<x<π/4 に対して�@をみたす0<y<π/2をy(x)とすればy(x)は単調減少である。
このときsin(x-y(x))は単調増加、1/(4sin(2x))は単調減少である。
よって 0<x<π/4, 0<y<π/2 での方程式の解は高々一つである。

方程式
sin(2x)sin(4x) = 1/4
のπ/5<x<π/4での解をとりy=5x-πとおく。
このとき�@�Aが成立する。

以上により0<x<π/4,0<y<π/2において�@�Aは唯一の解をもちそれは
x = (π/2-x) + (π/2-2x) + y
をみたす。

五角形の問題があったので、それに関連するのを１つ

平面充填可能な五角形は15種類存在する
（一種類の五角形で平面を充填するものとする。また五角形は凸五角形に限定する）
参考
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_tiling
https://note.com/onthehead/n/n85f867b17306

この平面充填可能な五角形の Type3~15 に属するものの中で、５つの辺が等しい五角形をすべて答えなさい
（どの Type に属するかと、各々の内角の大きさも記入すること）

前>>290
>>336
正五角形ABCDEの頂点を半時計回りとかアルファベット順にし、
上に頂点A、下に底辺CDが来るように正対させた正五角形を、
辺の長さを変えることなく上下に引っ張ると、
∠A=80°,∠B=∠E=130°,∠C=∠D=100°のように、
金太郎や子泣き爺の前掛けの形にできる。
左右に引っ張ると∠A=160°,∠B=∠E=80°,∠C=∠D=110°のように、
横長の形にもできる。
この2種類の境界は正五角形であり、
これらは辺の長さが等しいので、
15種類のどのtypeにも属していない。
題意を満たす五角形は少なくとも2種類ある。
ほかにないか考えると、
∠=60°,∠B=∠E=150°,∠C=∠D=90°がある。
∴少なくとも3種類ある。

5角形による
平面充填で有名なラインハルトは
ビーベルバッハの弟子

BieberbachはKleinの弟子

前>>337訂正。
>>336
先に挙げた3種類のうち最初の2種類は、
内角の和が540°の五角形の、5辺の長さを等しくし、
一点に寄せた三つか四つの角の和を360°にすることができない。
∠A=60°,∠B=∠E=150°,∠C=∠D=90°は可能。
Type1には属する。
強いてType3〜15から選ぶとなるとType4

そろそろ >>207 のヒント

「n≧N ならば n以下の自然数のうち不足数でないものの割合が半分未満である」ということが
ある現実的な大きさの自然数 N について成り立つことを示せば良い。

そこで、関数μを μ(k) = 1 (kが不足数の時), 2 (それ以外) と定めて、ある具体的なNについて
n > N ならば Σ_(k=1,n) μ(k) < 3n/2
を示すことを目標とする。
ここで μ(k) ≦ σ(k)/k （ただしσ(k)はkの約数の総和）による評価を思いつくが、試しにこれで評価しても
Σ_(k=1,n) σ(k)/k ≦ (π^2/6)n
までしか出ず目標の係数 3/2 には一歩届かない。
どう工夫する？という所で一旦この辺まで

もうΣσ(n)の漸近評価の出し方調べてしまったからどうでもいい

えっ逆にσそのものの和で不足数の個数を評価できるのか
その解法は逆に気になる

閏年によるズレ
5時間48分46秒=20926秒
1日=86400秒

20926/86400≒0.2421991

400年に97回の閏年で
97/400=0.2425で近似している

33年に8回の閏年で
8/33≒0.242424…

n年にm回の閏年で97/400よりも
よりよい近似を出したい


■お題
『nを1000以下として最近似する
m,nの値を求めよ』

◆1000年に242回の閏年で
242/1000=121/500=0.242000…

122/504=61/252≒0.2420634…

ここから一気に、
8倍のオーダーを採る

(61x8)/(252x8)=488/2016

489/2019=163/673≒0.24219910847

◆デフォルト値
20926/86400=0.2421991


∴m=163， n=673

489/2019=163/673≒0.24219910847

0.2421991084695393759
286775631500742942050
520059435364041604754829...

(循環節の長さ 224)



◆デフォルト値
20926/86400≒0.24219907407

0.242199074074074074074...

(074 循環節3)

日本人が明治6年から使用している
グレゴリオ暦―いわゆる西暦―は、
400年間に閏年を97回置く暦です

この暦の1年の平均日数は、
365＋97/400 = 365.24250日です

実際の平均太陽年は、
約365.24219日です

両者の差は、0.00031日になります
この差は累積し、
1000年たつと約0.31日ずれます

この暦の適正使用期間は
約3225年となります

グレゴリオ暦が制定されたのは
1582年ですから、
4807年頃には誤差が1日になります

2013年の平均太陽年（年央値）は
「365日5時間48分45.179秒」です

単位を「日」にして表すと、
365＋5/24＋48/1440＋
45179/86400000
＝365＋20925179/86400000
＝365.242189571…

元々は集合

S(x) = { n | σ(n) > xn }

が密度を持つというのがDavenportの定理でx=2の場合の密度をFavenport Constantと呼ぶ
大体0.25くらいのハズ
問題は
①そもそも密度が存在する証明は
②nが大きいときはいいとしてnが小さいときはどうするか
存在証明は(σ(n)/n)ᵏが任意の自然数kで収束する事を利用してKolmogorovの不等式と同様にして十分大きなxをとって

limsup ♯{n | σ(n) > xn }/n < ε

となるようにしておく
次に多項式P(t)を

P(t) ≒ 1 ( t∈[0,2] ), 0 ( t∈(2,x] )

と選べば

S(x) ≒ { P(σ(n)/n) = 1 }

となって S(2) が密度を持つ事がわかる
②の誤差評価も古くからのテーマで要するにO(n)とか横着してるところをちゃんと定数コツコツ計算していけば今回のようなテーマだといけるそうな

なるほど　じゃあまあ残りの概要も投げていいか
>>346 の続き
rは6と互いに素な整数を値にとる変数とする。
g(k) := σ(k)/k - μ(k) とおいて任意の自然数kについて
g(k)+g(2k)≧1/3,
g(k)+g(2k)+g(3k)≧3/4
g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)≧11/8
g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)+g(6k)≧19/8
が示せるから、nが36の倍数の時
Σ_(k=1,n) μ(k)
= Σ_(k=1,n) σ(k)/k - g(k)
< (π^2/6)n - Σ_(1≦r≦n) Σ_(1≦s≦n/r, sは2と3以外の素因数を持たない) g(rs)
≦ (π^2/6)n - Σ_(1≦r≦n/6)19/8 - Σ-(n/6<r≦n/4)11/8 - Σ_(n/4<r≦n/3)3/4 - Σ_(n/3<r≦n/2)1/3
= (π^2/6)n - n/18×19/8 - n/36×11/8 - n/36×3/4 - n/18×1/3
= (π^2/6 - 181/864)n.
これよりnが36の倍数の時はn以下の自然数についてのμの値の和は (π^2/6 - 181/864)n 以下となる。

したがって、より一般に n≧1296 の時、n=36m+l (l<36)と表すと
Σ_(k=1,n) μ(k) < (π^2/6 - 181/864)(36m) + 2l
< (13/9)n + 72 ≦ 3n/2
が成り立つので、1296以上の整数は２つの不足数の和で表せる。
1296以下も表せることについては、945未満の全ての奇数および2と802が全て不足数であることから従う。

初等的ではあるけどさすがにこれは難すぎw

g(k)+g(2k)+g(3k)+g(4k)≧11/8
とかの計算も分からん

g(k)の和の下からの評価のくだりは全部kをrに置き換えないとダメだったわ
（証明の正しさに影響は無いから大きな問題ではないけど）

例えば g(r)+g(2r)+g(3r)+g(4r)≧11/8 の証明は、x:=σ(r)/r とおいて
(i) 1 ≦ x < 8/7 の時
g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-1, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-1
であるからx=1で最小値 19/12.
(ii) 8/7 ≦ x < 4/3 の時
g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-1, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-2
であるからx=8/7で最小値 29/21.
(iii) 4/3 ≦ x < 3/2 の時
g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-1, g(4r)=(7/4)x-2
であるからx=4/3で最小値 13/9.
(iv) 3/2 ≦ x < 2 の時
g(r)=x-1, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-2, g(4r)=(7/4)x-2
であるからx=3/2で最小値 11/8.
(v) 2 ≦ x の時
g(r)=x-2, g(2r)=(3/2)x-2, g(3r)=(4/3)x-2, g(4r)=(7/4)x-2
であるからx=2で最小値 19/6.
(i)から(v)の最小値のうち最小のものは11/8であるから求める最小値は11/8、みたいに求められる。

(i)から(v)に場合分けした各区間でgの和が最小値をとるのは区間の下限って決まりきってるから、
計算自体はそれほど大変ではない。が、面倒ではあると思う

係数が全て非負整数であるような、xのn次関数f(x)がある
あなたは具体的なnの値や係数は知らされていない

整数mを入力するとf(m)の値が出力される装置があるとき、あなたがf(x)を当てるには最低何回の入力が必要か。

f(1)=0.

>>356
2回。
最初にf(1)を計算し、f(1) より大きな10^kに対して f(10^k) を計算すれば良い。
別に10進でなくてもいいけど。

ならf(x)≡0

クイズです！
大学生レベルの問題です

123
456
789

↑に棒線を2本加えて0にしてください
制限時間は1分

約束してください。絶対に先を読まず、１行ずつ進む事。
たった３分ですから、ためす価値ありです。


まず、ペンと、紙をご用意下さい。
先を読むと、願い事が叶わなくなります。


�@まず、１番から、１１番まで、縦に数字を書いてください。
�A１番と２番の横に好きな３〜７の数字をそれぞれお書き下さい。

�B３番と７番の横に知っている人の名前をお書き下さい。（必ず、興味の
ある性別名前を書く事。男なら女の人、女なら男の人、ゲイなら同姓の名
前をかく）

必ず、１行ずつ進んでください。先を読むと、なにもかもなくなります。

�C４，５，６番の横それぞれに、自分の知っている人の名前をお書き下さ
い。これは、家族の人でも知り合いや、友人、誰でも結構です。

まだ、先を見てはいけませんよ！！

�D８、９、１０、１１番の横に、歌のタイトルをお書き下さい。

�E最後にお願い事をして下さい。さて、ゲームの解説です。

１）このゲームの事を、２番に書いた数字の人に伝えて下さい。

２）３番に書いた人は貴方の愛する人です。

３）７番に書いた人は、好きだけれど叶わぬ恋の相手です。

４）４番に書いた人は、貴方がとても大切に思う人です。

５）５番に書いた人は、貴方の事をとても良く理解してくれる相手です。

６）６番に書いた人は、貴方に幸運をもたらしてくれる人です。

７）８番に書いた歌は、３番に書いた人を表す歌。

８）９番に書いた歌は、７番に書いた人を表す歌。

９）１０番に書いた歌は、貴方の心の中を表す歌。

１０）そして、１１番に書いた歌は、貴方の人生を表す歌です。この書き
込みを読んでから、１時間以内に１０個の掲示板にこの書き込みをコピー
して貼って下さい。そうすれば、あなたの願い事は叶うでしょう。もし、
貼らなければ、願い事を逆のことが起こるでしょう。とても奇妙ですが当
たってませんか？

多項式
　f(x) = a0 + a_1x + a_2^2+..+a_dx^d
に対して
　l(f) = max |a_k|、d(f) = d
とおく。
　f(x) = f_1(x)f_2(x)...f_n(x)
のとき
　2^(-d(f)) l(f_1)...l(f_n) ≦ l(f) ≦ 2^(d(f)) l(f_1)...l(f_n)
を示せ。

>>362
くだらん

　123
−456
− 〃　
　789

→　合計 0 だよね。

>>366
それだと棒線2本以外に〃も使ってるからだめ

determinant

−123
　456 ×2
−789

→　合計 0 だよね。

>>368が正解

>>370
くだらん

クイズです！
大学生レベルの問題です

123
456
789

↑に棒線を2本加えて0にしてください

(1x5x9)+(2x6x7)+(3x4x8)
-(3x5x7)-(2x4x9)-(1x6x8)

45+84+96-105-72-48

45+180-105-120

∴225-225=0

|123|
|456|にすればいいってこと
|789|

>>373
百済

[x]はfloor(x)とする

C[n,[n/2]]√(n+1) ≦ 2^n (∀n:自然数)

を示せ

GJ!!

複素数係数の多項式 f(x) に対して

M(f) = 1/2π exp( ∫[0,2π] log| f(exp(it)) | dt

とおく

f(x) = (x-a_1)...(x-a_n)

のとき

M(f) = Σ max{ log| a_k |,0 }

を示せ

(i) |a|<1 のとき
(1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt
= (1/2π)∫[0,2π] log|1 - a exp(-it)|dt
= (1/2π)∫[0,2π] log|1 - a exp(it)|dt (z=exp(it)と置く)
= re{(1/2πi)∫[|z|=1] log(1 - az)dz/z}
= re{Res[z=0] log(1 - az)/z}
= re{log(1)}
= 0

(ii) |a|>1 のとき
(1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt
= (1/2π)∫[0,2π] {log|a| + log|(1/a)exp(it) - 1|}dt
= log|a| + re{(1/2π)∫[0,2π] log(1 - (1/a)exp(it))dt}
= log|a| (∵(i)と同様に積分は0)

(iii) |a|=1 のとき
(1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a)|dt
= (1/2π)∫[0,2π] log|1 - exp(-it+i arg(a))|dt
= (1/2π)∫[0,2π] log|1 - exp(-it)|dt
= (1/2π)∫[0,2π] log(2sin(t/2))dt
= 0

以上まとめると
(1/2π)∫[0,2π] log|exp(it) - a|dt
= max(log|a|,0)

素晴らしい👍

複素数係数の多項式 f(x_1,...,x_n) に対して

M(f)
= (1/2π)^n
exp( ∫[0,2π]^n log| f(exp(it_1),...,exp(it_n) | dt_1...dt_n
L(f) = max{ | 係数 | }
d_i(f) = max{ k | ∂^k/∂x_i^k f ≠ 0 }
とおく

L(f) ≦ M(f)C[d_1(f),[d_1(f)/2]]...C[d_n(f),[d_n(f)/2]]

を示せ
ただし[x]はfloor関数である

nを自然数とする
(n-1)!をn+1で割った余りの最大値を求めよ

(i) n+1が素数のとき

(n-1)! ≡ 1 ( mod n+1 ) (∵Wilson)

(ii) n+1が合成数のとき

n+1 = qm, qが素数べき, (q,m) = 1, pをqの素因子とすると m>1 or q>p
前者なら

n-1 = qm-2 ≧ q ∴ q|(n-1)!

後者なら

n-1 = q-2 > q/p > p ∴ q|(n-1)!

>>383
後者に見落としがあるね

じゃあ不正解でいいです

n-2 > q/p > p or q = p^2
q = p^2, p>2 → q-2 > q-p > p
q = 4 → (n-1)! = 2

x_1,x_2,…,x_nを実数とする

Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j|≦Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j|

を示せ

変数の範囲は[-1,1]に制限して良い
f(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i-x_j|
g(x) = Σ[i,j=1〜n]|x_i+x_j
h(x) = g(x), k(x) = #{ i | |x_i|<1 }
とする
(x_i)を(h(x),k(x))に関する極小元とする
このときm=max{|xi| ; |xi|<1}とすればm=0である
そうでないとしてx(t)を
xi(t) = t (if xi = m)
= -t(if xi = -m)
= xi (otherwise)
とするとh(x(t))は十分小さいεで[m-ε,1]で連続な一次関数だから仮定に反する
a=♯{xi=1},b=♯{xi=-1},c=♯{xi=0}
とすれば
f(x) = 2a^2+2b^2+c(a+b)
g(x) = 4ab+c(a+b)

>>388
(h(x),k(x))に関する極小元てのは順序対の極小なのかな
なぜh極小で示せばいいの？
(g-fではなく、しかもkに関する条件付きで)

あとh(x(t))は|t-1|+|t+1|の0近傍のように局所的に1次でなく0次(定数)の可能性もあるから、後半の論法もダメなのでは？

辞書式順序の最小
0次式になるとh(x)の値をそのままにしてk(x)の値が真に小さくできる

kが真に小さく出来るのはなぜ？
それと再度聞くけど、なぜh(=g)を最小にした場合に示せば良いの？
fも連動しているから不等式を破るx_iはgを最小にするものとは限らないのでは？

|xi|= mであるxiを微小にずらしてh(x)の値が変化しないならその近傍でtについて定数
どこまで定数かというと|xi±xj|の形の項は|2t|か|t-xi|のいずれかの形に置き換わるのでt∈(m-ε,1)で微分可能
特にt∈[m,1]で定数だからh(x(m)) = h(x(1)), k(x(m)) < k(x(1))

h(x) = g(x) - f(x)

任意の整数nに対し
abc+abd+acd+bcd=1
を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が無限に存在することを示せ

>>394
>=1

artinの定理

永田雅宜、可換体論5章、裳華房

と思ったら多項式
反例ある

実数係数、値域は非負
に限れば成立するんじゃないの

実際に解こうとすると
高次方程式を解くことになるから
原理的に無理、というだけ

反例あるというに

https://homepages.warwick.ac.uk/~maskal/MA3J9/17th.pdf

それは2変数の例であって
1変数に限れば、片方は定数に吸収されて
うまく行きそうに見える

別の識者と出題者にも訊いてみたい

x^4+2x^3+2x^2+2x+1
=(x+1)^2(x^2+1)
=((x+1)(x+i))((x+1)(x-i))
=((x^2+x)+i(x+1))((x^2+x)-i(x+1))
=(x^2+x)^2+(x+1)^2.

>>400
残念ね

p(x,y) = Σ f(x,y)^2
である多項式f(x,y)は存在しないけど
p(x,y) = Σ g(x,y,z)^2
である多項式g(x,y,z)は存在するかも....
へぇ....

ああ、すまん、変数減らすのね

1変数ならHilbertの定理やな

In 1888, Hilbert showed that every non-negative homogeneous polynomial in n variables and degree 2d can be represented as sum of squares of other polynomials if and only if either (a) n = 2 or (b) 2d = 2 or (c) n = 3 and 2d = 4.

>>394
これって結局正しい問題文は何？

abc+abd+acd+bcd=nなら(1,-1,k-n,-k)でいいよね

>>407
https://math.stackexchange.com/questions/872324/diophantine-equation-abc-abd-acd-bcd-1

>>408
だからabc+abd+acd+bcd=1なら
(a,b,c,d)=(1,-1,k-1,-k)で無限個の整数解じゃん

背景が聞きたかったんじゃないのか

>>394 の「任意の整数nに対し」は何のためにあるの？その後一回も出てきてないよね

=1が=nの間違いなのかと思ったけどね
「0でない」も謎だしテキトーに出したんかな

ab(c+d)+cd(a+b)=1

を満たす0でない整数の組(a,b,c,d)が
無限に存在することを示せ

>>413
　a > 0,
　b =−a−1,
　c = ab−1,
　d =−abc +1,

これって自演？w

前のレスの問題をこう解釈したら自明でしょと返したやつにレスつけたんでしょ

>>414
　e_k = e_0･e_1 …… e_{k-1} + 1,
とおくと
　1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/e_m = 1/(e_0･e_1……e_m),

e_m のところだけ e_m−2 に変えれば
　1/e_0 − 1/e_1 − …… − 1/(e_m−2) =−1/(e_0･e_1……(e_m−2)),
で符号反転できます。 これを使うんですね。

別スレの問題の発展

n ≧ 2 とする。
平面上に平行線 l//m と l 上の２点 A,B が与えられている。
定規のみを用いて A,B の n-1個ある n 分点を作図する方法を与えてください。

定規って直線引くだけだっけ？定規に長さメモれるんだっけ？

>>420
許されるわけないだろ

これでいいんかな

2点a,bの中点は以下のように作れる
これは適当に外点pを1つとり半直線apとbpを描く
それらと直線mとの交点をそれぞれa',b'とする
線分ab'とa'bの交点をqとすると半直線pqはab(そしてa'b')を2等分する

この要領でまず直線m側に2^k(>n)等分点を適当に作る
そこから適当にn分区間のn+1点を選び、その両端点をc,dとする
acとbdの交点rとしrを残りの(n-1)個の内点と結べば
それらの(n-1)本の半直線とlの交点はa,bをn等分する

素晴らしい👍
正解

(0,1)上の正値可測関数fに対して
fかつexp(f)がルベーグ可積分のとき、f*exp(f)はルベーグ可積分か？

f(x) = -1/2log(x)
exp(f(x)) = x^(-1/2)
f'(x)exp(f(x)) = (-1/2)x^(-3/2)

>>425
f’exp(f)ではなくて
fexp(f)ですね
*は微分ではなく掛け算です
紛れてすみません

a(x) ＝ e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} / C,

C ＝ ∫[0,∞] e^{-x}((x＋2)log^2(x＋2))^{-1} dx

として a：[0,∞) → (0,∞) を定義する。
g(y)＝∫[0,y] a(x) dx (y≧0) とすれば、
g(0)＝0, g(∞)＝1 であり、g は狭義単調増加である。
g の逆関数を f とすれば、f：(0,1) → (0,∞) であり、

∫[0,1]f(x)dx＜∞, ∫[0,1]e^{f(x)}dx＜∞, ∫[0,1]f(x)e^{f(x)}dx＝∞

となることが分かる。

>>427
素晴らしい
お見事です

〔問題142〕
A+B+C=π のとき
　sin(2A) + sin(2C) − 2 sin(2B)
　= 2 cos(A) cos(B) cos(C) {2 tan(B)−tan(A)−tan(C)},
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 142

〔問題153〕
A+B+C=π のとき
　sin(2A) + 2C tan(A) − 2S = 0,
　ここに　C = cos(A)cos(B)cos(C),　S = sin(A)sin(B)sin(C),
を示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 153

↑かぶった。
　C ' = cos(A) cos(B) cos(C)
です。

Cにπ-(A+B)を代入して計算するだけじゃん